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Descubra este recurso que sintetiza de forma visual algumas das estratégias mais utilizadas nas operações básicas.
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Sumário
O que “saber subtrair” realmente significa?
Quanto é 76 menos 28? Muitas vezes, quando pensamos em subtração, a primeira coisa que nos vem à mente é a representação vertical da operação.
Mas uma subtração é muito mais do que isso. Fazer matemática é muito mais do que isso. Além da compreensão profunda do conteúdo, a matemática envolve a resolução de problemas, o estabelecimento de conexões, o raciocínio e a comunicação por meio de diferentes representações.
Vamos voltar à subtração do início. Você sabe o resultado de 76 menos 28? Como você descobriu? Você poderia ter calculado de outra maneira?
Esse tipo de pergunta nos permite ver o nível de proficiência de cada aluno ao resolver uma subtração. E, claro, descobrir se ele sabe subtrair. Um aluno proficiente e, subtração chega ao resultado de forma eficiente (rápida e correta) e entende o que está fazendo, e por quê.
Mas como conseguimos isso? Que estratégias apresentamos? Que material usamos para cada uma? E quando devemos abandonar esse material?
Cada operação é como um iceberg: o que vemos na superfície é apenas uma pequena parte de toda a sua complexidade. Convidamos você a mergulhar neste artigo e explorar as profundezas didáticas que estão por trás da aprendizagem da subtração.
Sumário
O que é subtração?
Se eu tiver 8 balas e comer 5, com quantas balas vou ficar?
Esse exemplo de uma situação contextualizada mostra claramente a visão mais difundida da subtração: o ato de retirar. E, portanto, o ato oposto à adição.
Mas subtrair também é separar elementos de um grupo e encontrar a distância entre dois números. Ou seja, um ato que ajuda a responder, por exemplo, “qual é a distância entre 28 e 76”.
Como resolvemos uma subtração: do concreto ao abstrato
A primeira coisa a entender é que não existe somente uma forma de subtrair. O algoritmo convencional que todos aprendemos não é o único que existe. Ser fluente em uma operação também implica conhecer as várias formas de resolvê-la e escolher com critério a mais apropriada, considerando o contexto e os números envolvidos.
Para garantir essa flexibilidade, criamos uma ampla variedade de estratégias na sala de aula, enfatizando a compreensão e praticando em vários momentos para obter eficiência.
As principais estratégias que trabalhamos ao subtrair são:
- Saltos na linha numérica
- Subtração por decomposição
Ambas obedecem uma sequência de aprendizagem baseada no modelo CRA (Concreto, Representativo, Abstrato) para garantir a compreensão. Passamos por três momentos:
- Começamos com a manipulação, usando diversos materiais (o Concreto).
- Representamos no papel o que fizemos durante a manipulação (o Representativo).
- Passamos às representações abstratas, como os algoritmos (o Abstrato).
Estratégia de saltos na linha numérica
A primeira estratégia para somar e subtrair que apresentamos no 1º ano do Ensino Fundamental é a de saltos na linha numérica. A linha numérica é uma ferramenta visual muito valiosa que pode ser facilmente ampliada para trabalhar com intervalos tão grandes quanto quisermos e para introduzir, no futuro, números inteiros, racionais e irracionais.
Essa estratégia nos ajuda a trabalhar o cálculo mental, a resolver operações simples de maneira muito eficiente e a deixar para trás a contagem com os dedos.
Além disso, ele nos permite ver os dois modelos da subtração:
- Modelo de retirada de elementos: imaginamos que damos o número de saltos para trás que equivale ao número de elementos que queremos retirar.
- Modelo de distância entre dois números: permite que vejamos claramente a distância entre dois números, representando os dois números que queremos subtrair e contando a distância do salto entre eles.
Trajetória didática da estratégia de saltos na linha numérica
O primeiro passo da sequência de ensino da estratégia de saltos é praticar saltos para frente e para trás com o colar de contas, a fim de compreender o senso numérico.
É normal que os alunos contem as contas uma de cada vez quando começam a aprender esta estratégia. Mas deveríamos incentivar o uso de estratégias mais eficientes para acelerar a contagem, como a mudança de cores (a cada 5 ou a cada 10 contas).
Quando os alunos tiverem resolvido corretamente algumas subtrações com o colar (o número de vezes depende de cada criança), devemos ajudá-los a dar o primeiro passo rumo à abstração, representando no papel o que eles estavam fazendo por meio da manipulação.
À medida que os estudantes se tornam proficientes nos saltos (por meio da manipulação e no papel), ampliamos progressivamente os intervalos das contas: primeiro, eles trabalham com o colar de 10 contas, depois passam para o de 20 e, finalmente, para o de 50.
Depois que os alunos tiverem resolvido corretamente várias subtrações com representações concretas, sugerimos que passem à linha bicolor, para compactar ainda mais as representações e tirá-los de sua zona de conforto. Ou seja, continuamos diferenciando as cores e as marcas na representação, mas não os números específicos.
Os alunos praticam saltos de muitas forma, alcançando assim a proficiência e a otimização. Por exemplo, a subtração 76 – 28 pode ser resolvida de duas maneiras:
Mas com certeza há outras formas!
E a coisa não para por aí. Chegará um momento em que alunos integraram tanto o processo que não vão mais precisar da representação no papel, pois saberão calcular mentalmente.
Estratégia de subtração por decomposição
No 2º ano do Ensino Fundamental, construímos outra estratégia mais focada em trabalhar o cálculo escrito da subtração: a estratégia de decomposição, a qual permite chegar ao algoritmo convencional de uma forma muito transparente.
Para dominar essa estratégia, a primeira coisa a entender é que, em matemática, cada dígito dos números envolvidos na operação representa uma quantidade específica. Isso é fundamental.
Por exemplo, 76 é um número composto de 7 dezenas (70 unidades) e 6 unidades. Por isso, trabalhamos o sistema decimal posicional em profundidade, introduzindo diferentes materiais, como o ábaco, no início, e os blocos de base 10, mais tarde.
Trajetória didática da estratégia de subtração por decomposição
A primeira etapa do trabalho com a estratégia de decomposição é subtrair com a ajuda do material manipulativo. Neste caso, os blocos de base 10.
Graças a esse material, as crianças percebem o significado da subtração como o ato de retirar ou separar elementos de uma quantidade inicial. Por exemplo, começamos com uma subtração simples: 26 – 12. Dividimos 26 em 2 dezenas e 6 unidades. Se retirarmos 1 das 2 dezenas, ficaremos com 1 dezena. E se retirarmos 2 das 6 unidades, ficaremos com 4 unidades. Portanto, o resultado de 26 – 12 é 14.
Devemos aproveitar essa etapa de manipulação para fazer subtrações mais complexas, nas quais nem sempre é possível retirar a quantidade pedida porque não temos o suficiente.
Por exemplo, em 76 – 28, não podemos retirar 8 unidades de 6. Portanto, é preciso incentivá-los a fazer um bom planejamento da situação e trocar as dezenas para obter mais unidades.
Portanto, em vez de decompor 76 em 7 dezenas e 6 unidades, é mais vantagem expressar o número como 6 dezenas e 16 unidades (convertendo uma dezena em 10 unidades). Dessa forma, podemos resolver a operação. Retiramos 8 unidades de 16, portanto, ficamos com 8. E retiramos 2 dezenas de 6, portanto, ficamos com 4. No total, 48.
É evidente que esse processo ajuda os alunos a entenderem que as coisas não acontecem por acaso e a compreender de onde vem cada passo. Porém, embora seja muito transparente, esse método é lento e pouco eficiente.
Por isso, depois que os alunos tiverem resolvido algumas subtrações com ele, devemos ajudá-los a dar o primeiro passo rumo à abstração, representando no papel o que fizeram por meio da manipulação. Por exemplo, ao resolver as subtrações, eles podem desenhar os blocos de base 10 usando X e palitos, para ter um apoio visual.
Depois que eles tiverem resolvido várias subtrações dessa forma, devemos ajudá-los a sair de sua zona de conforto, incentivando-os a reduzir o uso de representações concretas. E assim, progressivamente, removemos os apoios até chegar a uma representação do algoritmo convencional de subtração.
Deduzir resultados a partir de fatos conhecidos: a chave para pensar como um matemático
Em paralelo à criação de estratégias, os alunos também devem praticar e desenvolver na sala de aula as principais habilidades matemáticas, como a dedução de resultados a partir de fatos conhecidos. A matemática, por definição, é uma ciência dedutiva.
A dedução não só estimula a capacidade de argumentar, mas também outras capacidades essenciais, como estabelecer conexões, formular conjecturas e pensar como verdadeiros matemáticos.
No caso da subtração, essa habilidade se manifesta na capacidade de simplificar as operações. Por exemplo, um aluno competente em fatos conhecidos e fatos derivados pode deduzir que 76 – 28 é equivalente a 78 – 30.
Esse ajuste, baseado no critério de translação dos números, mantém a mesma diferença entre os valores e simplifica a operação. Essa flexibilidade demonstra não apenas o domínio do senso numérico, mas também a capacidade de otimizar os cálculos.
Os alunos descobrem rapidamente que essa estratégia é muito útil para fazer cálculos em menos tempo. Por isso, eles devem praticá-la em diversos momentos, para ganhar confiança e fluência.
A importância de fazer estimativas
Por fim, não devemos nos esquecer as estimativas. Sim, os cálculos devem ser corretos e precisos. Mas também é necessário ter fluência ao fazer estimativas.
Fazer boas estimativas antes de resolver uma operação ajuda a escolher a estratégia mais adequada segundo as circunstâncias (p. ex., se têm papel e lápis ou precisam fazer tudo mentalmente) e os números envolvidos (se estão próximos ou distantes).
Além disso, fazer boas estimativas também ajudará a determinar se o resultado obtido está correto ou não.
Como obter fluência e critério no uso da estratégia
Um dos pilares para o desenvolvimento da fluência em uma operação é conhecer várias formas de abordá-la.
Por isso, todas as estratégias desenvolvidas na sala de aula coexistem. Os alunos devem não apenas compreendê-las, como desenvolver o critério necessário para escolher a mais adequada de acordo com o contexto e os números com os quais têm de trabalhar em cada operação.
Para atingir esse objetivo, é preciso dedicar um tempo significativo à construção profundidamente cada estratégia, garantindo que todas sejam compreendidas. Entretanto, a teoria não é suficiente: é imprescindível praticar. Por isso, propomos diversos espaços e tarefas que trabalham a agilidade nos cálculos.
Embora esse processo leve tempo, a construção de uma estratégia geralmente não vai mais além de um único ano letivo. Por exemplo, a transição do colar de contas para a linha numérica vazia ocorre durante todo o primeiro ano do Ensino Fundamental, e os alunos chegam ao segundo ano sabendo como saltar na linha vazia.
O que aumenta é a complexidade dos números com os quais operamos. À medida que o intervalo numérico (de 10 a 20, de 20 a 50, etc.) é ampliado, voltamos ao material manipulativo e começamos outro ciclo de abstração, abandonando-o progressivamente.
Em última análise, o objetivo é construir uma base sólida para que os alunos avancem rumo a processos matemáticos mais abstratos e eficientes, com conhecimentos que possibilitem adaptar-se a qualquer situação. Depois, basta praticar até automatizar ou consolidar o que foi construído. Mas voltaremos a esse assunto mais tarde.
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