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Descubra este recurso que sintetiza de forma visual algumas das estratégias mais utilizadas nas operações básicas.
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O que realmente significa “saber dividir”?
“Vamos resolver 158 : 3. Começando pelo 15: quantas vezes o 3 cabe no 15? 5. E agora… como era mesmo? Desço o 3? Diminuo primeiro?”
Você provavelmente já passou por isso: alguém lhe pede para resolver uma divisão no papel e você precisa de alguns segundos para lembrar os passos exatos do algoritmo. Isso mostra que, quando baseamos a aprendizagem de uma operação em um único algoritmo, perdemos grandes oportunidades de entendê-la de verdade.
Entender a divisão é essencial para trabalhar os conceitos que vêm depois — como porcentagens, frações ou proporcionalidade — e até mesmo em nossa vida cotidiana.
A divisão envolve um conjunto de habilidades que vão muito além da execução de um algoritmo. Um aluno que entendeu a divisão deve chegar à resposta correta de forma eficiente (fluente e precisa) e entender o que está fazendo, e por quê.
Então, o que é que a gente faz? Que estratégias e materiais usamos? Quando paramos de depender deles?
Cada operação é como um iceberg: o que vemos na superfície é apenas uma pequena parte da sua complexidade. Convidamos você a mergulhar neste artigo e explorar as profundezas didáticas que estão por trás da aprendizagem da divisão.
O que é uma divisão?
Distribuir ou criar grupos? Eis a questão…
Imagine que você tem 24 balas e quer distribuí-las equitativamente entre 6 crianças. Quantas balas cada uma vai receber? Esta é a visão mais difundida da divisão: compartilhar equitativamente.
Mas dividir também é fazer pacotes. Por exemplo, quantos pacotes de 4 bolas podemos fazer com 24 bolas? Essa perspectiva dá outra dimensão à divisão, abrindo a porta para uma compreensão mais rica e profunda.
Como resolver uma divisão: do concreto ao abstrato
A primeira coisa a entender é que não existe somente uma forma de dividir. O algoritmo convencional que todos aprendemos não é o único que existe. Ser fluente em uma operação também implica conhecer as várias formas de resolvê-la e escolher com critério a mais adequada, considerando o contexto e os números envolvidos.
Para garantir essa flexibilidade, construímos uma ampla gama de estratégias com foco na compreensão na sala de aula e praticamos em diversas ocasiões para ganhar agilidade.
As principais estratégias que trabalhamos ao dividir são:
- Estratégia de distribuição
- Estratégia de decomposição
A estratégia de distribuição obedece uma sequência de aprendizagem baseada no modelo CRA (Concreto, Representativo, Abstrato) para garantir a compreensão. Passamos por três momentos:
- Começamos com a manipulação, usando diversos materiais (o Concreto).
- Representamos no papel o que fizemos durante a manipulação (o representativo).
- Passamos às representações abstratas com os algoritmos (o abstrato).
Estratégia de distribuição: o esquema vertical da divisão
A primeira estratégia que usamos para construir o conceito de divisão é a de distribuição. Ela nos ajuda a trabalhar o cálculo escrito da divisão de forma transparente até chegarmos ao algoritmo convencional.
Trajetória didática da estratégia de distribuição
O primeiro passo na trajetória didática da estratégia de distribuição é a manipulação de objetos que possamos distribuir ou agrupar. Fazemos isso por meio da ação de dividir, ou seja, propomos situações que ajudem os alunos a distribuir as coisas em partes iguais. Por exemplo, distribuir cartas, cubinhos, etc.
Enquanto eles distribuem, devemos incentivá-los a encontrar maneiras mais eficientes de fazê-lo. Por exemplo, em vez de distribuir de 1 em 1, eles podem distribuir de 5 em 5, 10 em 10, etc.
Depois desse primeiro contato (e de repetir esse processo diversas vezes), fazemos uma primeira abordagem da abstração, representando no papel o que eles estavam fazendo por meio da manipulação. Por exemplo, propomos a seguinte situação: “Como podemos distribuir 158 cartas entre 3 jogadores de forma que todos tenham a mesma quantidade de cartas?”.
Os alunos compartilharão suas estratégias de distribuição e, à medida que narram, vão registrando os passos por escrito em seus cadernos.
Talvez eles comecem distribuindo 10 cartas para cada um. Ou seja, restarão 128 cartas para distribuir. Depois disso, se sentirão mais seguros para dar 20 cartas para cada um; sobrarão 68. Então, repetirão a distribuição de 20 para cada e ficarão com 8. Por fim, basta dar 2 cartas para cada um. Ou seja, eles distribuirão 52 cartas para cada jogador e ficarão com 2 de sobra.
Evidentemente, esse processo ajuda os alunos a entenderem que as coisas não acontecem por acaso e a perceberem o porquê de cada passo. Porém, embora seja transparente, esse método é também lento e pouco eficiente.
Portanto, depois que eles tiverem resolvido corretamente algumas divisões dessa maneira, devemos incentivá-los a sair da zona de conforto e fazer divisões mais eficientes, focando nas representações em papel.
Assim, removemos os andaimes gradualmente até atingir a otimização das distribuições, assim como fizemos com o algoritmo convencional.
O objetivo é que eles acabem resolvendo as divisões de forma eficiente e significativa, entendendo o porquê e a origem de cada número da operação.
Uma das chaves para alcançar essa compactação é a prática. Ao automatizar os processos e algoritmizar as estratégias eles desenvolverão critérios para escolher a melhor opção em cada contexto, dominando a operação.
Estratégia de divisão por decomposição
Paralelamente, trabalhamos a estratégia de divisão por decomposição. Trata-se de uma estratégia mais sofisticada que se baseia na premissa do cálculo mental.
Devido à sua rapidez, o cálculo mental é muito útil na adição e subtração, e o mesmo ocorre na divisão. Neste caso, a estratégia consiste em dividir a operação proposta em divisões mais fáceis de calcular e resolvê-las mentalmente.
Essa abordagem pode ser apoiada por modelos visuais que ajudam os alunos a entender melhor o processo. Nesse sentido, mesmo não sendo exatamente equivalente, o modelo retangular pode ser uma representação útil, pois ajuda a visualizar como uma quantidade pode ser decomposta em partes menores.
Em divisões exatas, o modelo retangular permite antecipar ou verificar possíveis decomposições, facilitando que as crianças explorem diferentes caminhos e descubram qual é a decomposição mais eficiente. No entanto, encontrar essa decomposição ótima não é imediato: requer tempo, prática e um processo de experimentação que permita aprimorar gradualmente o cálculo mental.
Como exemplo, vamos calcular 158 : 3. Primeiro, decompomos 158 em 120 + 30 + 8. Em seguida, dividimos cada um dos números pelo divisor do enunciado, ou seja, 3. Portanto, 120 : 3 = 40, 30 : 3 = 10 e 8 : 3 = 2R2. Portanto, o resultado é 52 R2.
Não podemos esquecer que, para conseguir uma decomposição eficiente, devemos escolher os números de modo que apenas um deles (no máximo!) leve a uma divisão com resto.
Porque o resto é muito importante. Nas situações cotidianas que enfrentamos, ele aparece naturalmente. O resto pode ser a resposta para uma situação em que alguns elementos não puderam ser distribuídos. E mais tarde, no terceiro ciclo, o resto nos possibilitará estabelecer conexões com os decimais e a divisibilidade.
Deduzir resultados a partir de fatos conhecidos: a chave para pensar como um matemático
Em paralelo à criação de estratégias, os alunos também devem praticar e desenvolver na sala de aula as principais habilidades matemáticas, como a dedução de resultados a partir de fatos conhecidos. A matemática, por definição, é uma ciência dedutiva.
A dedução não só estimula a capacidade de argumentar, mas também outras capacidades essenciais, como estabelecer conexões, formular conjecturas e pensar como verdadeiros matemáticos.
Por exemplo, um aluno competente em fatos conhecidos e fatos derivados pode deduzir a resposta de 158 : 3 a partir de outras respostas que já conhece, como 150 : 3 (50). Neste caso, ele deduzirá 153 : 3 (51), 156 : 3 (52) e 159 : 3 (53).
Este aluno deduziu o resultado a partir de divisões exatas, sem resto. Como 156 : 3 é 52 e 159 : 3 é 53, deduz-se que 158 : 3 é quase 53 (52 R2). Essa abordagem mostra não apenas uma compreensão da dedução, mas também uma aplicação flexível e funcional.
Os alunos descobrem rapidamente que essa estratégia é muito útil para fazer cálculos em menos tempo. Por isso, eles devem praticá-la em diversos momentos, para ganhar confiança e fluência.
A importância de fazer estimativas
Por fim, não devemos nos esquecer as estimativas. Sim, os cálculos devem ser corretos e precisos. Mas também é necessário ter fluência ao fazer estimativas.
Fazer boas estimativas antes de resolver uma operação ajuda a escolher a estratégia mais adequada segundo as circunstâncias (p. ex., se têm papel e lápis ou precisam fazer tudo mentalmente) e os números envolvidos (se estão próximos ou distantes).
Além disso, fazer boas estimativas também ajudará a determinar se o resultado obtido está correto ou não.
Como obter fluência e critério no uso da estratégia
Um dos pilares para o desenvolvimento da fluência em uma operação é conhecer várias formas de abordá-la.
Como todas as estratégias construídas convivem na sala de aula, os alunos devem não apenas compreendê-las, como desenvolver o critério necessário para escolher a mais adequada de acordo com o contexto e os números com os quais têm de trabalhar em cada operação.
Para atingir esse objetivo, é preciso dedicar um tempo significativo à construção profundidamente cada estratégia, garantindo que todas sejam compreendidas. Entretanto, a teoria não é suficiente: é imprescindível praticar. Por isso, propomos diversos espaços e tarefas que trabalham a agilidade nos cálculos.
Embora esse processo leve tempo, a construção de uma estratégia geralmente não vai mais além de um único ano letivo. O movimento em direção à otimização das distribuições não se estende mais além do 4º ano.
O que aumenta é a complexidade dos números com os quais operamos. À medida que o intervalo numérico é ampliado, voltamos ao material manipulativo e começamos outro ciclo de abstração, abandonando-o progressivamente.
Em última análise, o objetivo é construir uma base sólida para que os alunos avancem rumo a processos matemáticos mais abstratos e eficientes, com conhecimentos que possibilitem adaptar-se a qualquer situação. E não podemos esquecer da prática, que é extremamente importante para finalmente consolidar e automatizar o que construímos.
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