España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
Neste artigo, enfocamos a adição e as chaves e estratégias para alcançar uma compreensão profunda e a fluência em cálculos exatos e estimativos.
Baixe o e-book
Descubra este recurso que sintetiza de forma visual algumas das estratégias mais utilizadas nas operações básicas.
Artigos relacionados:
Sumário
O que “saber adicionar” realmente significa?
A adição e seu oposto, a subtração, são as primeiras operações básicas aprendidas no Ensino Fundamental.
A adição está sempre presente, desde as primeiras aulas de matemática até o nosso dia a dia: ao contar objetos em casa, ao pagar as compras no supermercado ou ao acompanhar os placares nos campeonatos esportivos.
No entanto, não devemos confundir a habilidade de executar um algoritmo com saber adicionar. Fazer matemática é muito mais do que isso. Além da compreensão profunda do conteúdo, a matemática envolve a resolução de problemas, o estabelecimento de conexões, o raciocínio e a comunicação por meio de diferentes representações.
Saber adicionar significa chegar ao resultado correto de forma eficiente (com fluência e precisão), entendendo o que estamos fazendo e seguindo corretamente os passos de cada estratégia.
E como conseguimos isso? Que estratégias apresentamos? Que material usamos para cada uma? Quando devemos parar de usar o material manipulativo?
A adição é como um iceberg: o que vemos na superfície é apenas uma pequena parte de toda a sua complexidade. Convidamos você a mergulhar neste artigo e explorar as profundezas didáticas que estão por trás da aprendizagem da adição.
O que é uma adição?
Se tivermos 48 balas em um saco e adicionarmos mais 28, quantas balas teremos no total?
Este exemplo de situação contextualizada mostra apenas um dos conceitos de adição: a ação de acrescentar novos elementos a uma quantidade inicial.
Mas adicionar também significa juntar dois ou mais grupos de elementos. Por exemplo, se temos 28 cubos e acrescentamos outros 48, com quantos cubos ficamos no total?
Como resolvemos uma adição: do concreto ao abstrato?
A primeira coisa que precisamos saber é que não existe uma única maneira de adicionar. O algoritmo convencional que todos aprendemos não é a única opção. Ser fluente em uma operação também implica conhecer as várias formas de resolvê-la e escolher com critério a mais apropriada, considerando o contexto e os números envolvidos.
Para garantir essa flexibilidade, construímos uma ampla gama de estratégias com foco na compreensão na sala de aula e praticamos em diversas ocasiões para alcançar a eficiência.
As principais estratégias que trabalhamos ao subtrair são:
- Saltos na linha numérica
- Subtração por decomposição
Ambas obedecem uma sequência de aprendizagem baseada no modelo CRA (Concreto, Representativo, Abstrato) para garantir a compreensão. Passamos por três momentos:
- Começamos com a manipulação, usando diversos materiais (o Concreto).
- Representamos no papel o que fizemos durante a manipulação (o Representativo).
- Passamos às representações abstratas, como os algoritmos (o Abstrato).
Estratégia de saltos na linha numérica
A primeira estratégia para somar e subtrair que apresentamos no 1º ano do Ensino Fundamental é a de saltos na linha numérica. A linha numérica é uma ferramenta visual muito valiosa que pode ser facilmente ampliada para trabalhar com intervalos tão grandes quanto quisermos e para introduzir, no futuro, números inteiros, racionais e irracionais.
Essa estratégia nos ajuda a trabalhar o cálculo mental, a resolver operações simples de maneira muito eficiente e a deixar para trás a contagem com os dedos.
Trajetória didática da estratégia de saltos na linha numérica
O primeiro passo da sequência de ensino da estratégia de saltos é praticar saltos para frente e para trás com o colar de contas, a fim de compreender o senso numérico.
É normal que os alunos contem as contas uma de cada vez quando começam a aprender esta estratégia. Mas deveríamos incentivar o uso de estratégias mais eficientes para acelerar a contagem, como a mudança de cores (a cada 5 ou a cada 10 contas).
Quando os alunos tiverem resolvido corretamente algumas adições com o colar de contas (dependendo do ritmo de cada criança), devemos ajudá-los a dar o primeiro passo rumo à abstração, representando no papel o que eles estavam fazendo por meio da manipulação.
À medida que os estudantes se tornam proficientes nos saltos (por meio da manipulação e no papel), ampliamos progressivamente os intervalos das contas: primeiro, eles trabalham com o colar de 10 contas, depois passam para o de 20 e, finalmente, para o de 50.
Depois que os alunos tiverem resolvido corretamente várias adições com representações concretas, sugerimos que passem à linha bicolor, para compactar ainda mais as representações e tirá-los de sua zona de conforto. Ou seja, continuamos diferenciando as cores e as marcas na representação, mas sem mostrar os números específicos.
Pouco a pouco, vamos deixando as cores e marcas para trás, até finalmente chegar à linha numérica vazia.
Os alunos praticam os saltos de muitas maneiras diferentes, para poder dominar e otimizar essa estratégia.
Por exemplo, a adição 48 + 28 pode ser resolvida de duas maneiras:
Mas com certeza há outras formas!
E isso não acaba aqui. Chegará um momento em que os alunos terão internalizado tanto que nem precisarão da representação no papel, porque serão capazes de resolver a adição mentalmente.
Estratégia de adição por decomposição
No 2º ano do EF, introduzimos outra maneira de resolver adições: a estratégia de decomposição.
Para dominar essa estratégia, a primeira coisa a entender é que, em matemática, cada dígito dos números envolvidos na operação representa uma quantidade específica. Isso é fundamental.
Por exemplo, 48 é um número composto de 4 dezenas (40 unidades) e 8 unidades. Por isso, trabalhamos o sistema decimal posicional em profundidade, introduzindo diferentes materiais, como o ábaco, no início, e os blocos de base 10, mais tarde.
Trajetória didática da estratégia de adição por decomposição
O primeiro passo para trabalhar com a estratégia de decomposição é adicionar com a ajuda do material manipulativo. Neste caso, usamos os blocos de base 10.
Com este material, as crianças observam facilmente o que estão fazendo quando adicionam: juntar elementos. Por exemplo, começamos com uma adição como 26 + 12. Primeiro, eles decompõem o 26 em 2 dezenas e 6 unidades, e o 12 em 1 dezena e 2 unidades. Depois, eles juntam as dezenas com as dezenas e as unidades com as unidades e veem claramente que o resultado é 38 (3 dezenas e 8 unidades).
Porém, é preciso aproveitar esta fase de manipulação para propor adições mais desafiadoras, que envolvam empréstimo.
Por exemplo, na adição 48 + 28, primeiro incentivamos os alunos a representar 48 como 4 dezenas e 8 unidades e 28 como 2 dezenas e 8 unidades. Começando com as dezenas, resolvemos 40 + 20 = 60. A ordem não é importante, mas o que fazemos depois é agrupar as unidades: 8 + 8.
Graças ao material manipulativo, os alunos observam que, ao juntar 10 cubos, eles formam uma dezena. Portanto, em vez de expressar a soma como 8 + 8, eles podem reescrevê-la como 10 + 6 (uma barra de 10 cubos e 6 cubos restantes).
A soma final que obtemos é 60 + 16 = 76.
É evidente que esse processo ajuda a entender que as coisas têm uma razão de ser, permitindo que entendam a origem de cada passo. Porém esse processo, apesar de ser muito transparente, também é lento e pouco eficiente.
Por isso que, uma vez que os alunos tenham resolvido corretamente algumas adições dessa maneira, a seu próprio ritmo, devemos convidá-los a dar um primeiro passo rumo à abstração, representando no papel o que eles fizeram antes de forma manipulativa. Por exemplo, ao resolver adições, eles podem desenhar os blocos de base 10 como xis e linhas, para ter um suporte visual.
Depois que eles tiverem resolvido várias adições dessa forma, devemos ajudá-los a sair de sua zona de conforto, incentivando-os a reduzir o uso de representações concretas. E assim, progressivamente, removemos os apoios até chegar a uma representação do algoritmo convencional de adição.
Automatização das adições de um único dígito
Muitas vezes, quando falamos sobre aprendizagem baseada em compreensão profunda, parece que estamos demonizando completamente a velocidade de resposta. No entanto, há certos conteúdos que devem fazer parte do conhecimento automático dos alunos.
Um deles é a automação da adição de números de um dígito. Isso significa lembrar em um tempo razoável os resultados de adições simples, como 7 + 3 = 10, 8 + 5 = 13, 9 + 6 = 15, etc.
Não saber responder rapidamente e, pior ainda, não ter estratégias eficientes para deduzir os resultados, são coisas que fazem com que os alunos tenham que dedicar muito esforço aos cálculos básicos, o que reduz sua capacidade de concentração em aspectos mais avançados ou complexos.
É muito útil saber responder rapidamente, seja porque você sabe os resultados de cor ou porque pode deduzi-los rapidamente e sem muito esforço a partir de alguns resultados básicos.
Deduzir resultados a partir de fatos conhecidos: a chave para pensar como um matemático
Em paralelo à criação de estratégias, os alunos também devem praticar e desenvolver na sala de aula as principais habilidades matemáticas, como a dedução de resultados a partir de fatos conhecidos. A matemática, por definição, é uma ciência dedutiva.
A dedução não só estimula a capacidade de argumentar, mas também outras capacidades essenciais, como estabelecer conexões, formular conjecturas e pensar como verdadeiros matemáticos.
No caso da adição, essa habilidade se manifesta na capacidade de simplificar as operações. Por exemplo, um aluno competente em fatos conhecidos e fatos derivados pode deduzir que 48 + 28 é equivalente a 50 + 30 se depois subtraímos 4 do resultado.
Essa capacidade de converter uma adição com empréstimo em uma mais simples mostra que ele conseguiu ser flexível e eficiente. Ele não só simplificou o cálculo para operar com mais tranquilidade, como soube compensar a modificação para obter o resultado correto.
Os alunos descobrem rapidamente que essa estratégia é muito útil para fazer cálculos em menos tempo. Por isso, eles devem praticá-la em diversos momentos, para ganhar confiança e fluência.
A importância de fazer estimativas
Por fim, não devemos nos esquecer as estimativas. Sim, os cálculos devem ser corretos e precisos. Mas também é necessário ter fluência ao fazer estimativas.
Fazer boas estimativas antes de resolver uma operação ajuda a escolher a estratégia mais adequada segundo as circunstâncias (p. ex., se têm papel e lápis ou precisam fazer tudo mentalmente) e os números envolvidos (se estão próximos ou distantes).
Além disso, fazer boas estimativas também ajudará a determinar se o resultado obtido está correto ou não.
Como obter fluência e critério no uso da estratégia
Um dos pilares para o desenvolvimento da fluência em uma operação é conhecer várias formas de abordá-la.
Por isso, todas as estratégias desenvolvidas na sala de aula coexistem. Os alunos devem não apenas compreendê-las, como desenvolver o critério necessário para escolher a mais adequada de acordo com o contexto e os números com os quais têm de trabalhar em cada operação.
Para atingir esse objetivo, é preciso dedicar um tempo significativo à construção profundidamente cada estratégia, garantindo que todas sejam compreendidas. Entretanto, a teoria não é suficiente: é imprescindível praticar. Por isso, propomos diversos espaços e tarefas que trabalham a agilidade nos cálculos.
Embora esse processo leve tempo, a construção de uma estratégia geralmente não vai mais além de um único ano letivo. Por exemplo, a transição do colar de contas para a linha numérica vazia ocorre durante todo o primeiro ano do Ensino Fundamental, e os alunos chegam ao segundo ano sabendo como saltar na linha vazia.
O que aumenta é a complexidade dos números com os quais operamos. À medida que o intervalo numérico (de 10 a 20, de 20 a 50, etc.) é ampliado, voltamos ao material manipulativo e começamos outro ciclo de abstração, abandonando-o progressivamente.
Em última análise, o objetivo é construir uma base sólida para que os alunos avancem rumo a processos matemáticos mais abstratos e eficientes, com conhecimentos que possibilitem adaptar-se a qualquer situação. Depois, basta praticar até automatizar ou consolidar o que foi construído. Mas voltaremos a esse assunto mais tarde.
Referências bibliográficas:
Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Cambridge: Harvard University Press.
Carpenter, T. P., et al. (1999). Las matemáticas que hacen los niños: la enseñanza de las matemáticas desde un enfoque cognitivo.
Traducción de Castro Hernández, C., y Alonso, M. L.
Hmelo‐Silver, C. E., Duncan, R. G., y Chinn, C. A. (2007). Scaffolding achievement in problem-based and inquiry learning: A response to Kirschner, Sweller, and Clark (2006). Educational Psychologist, 42, 99- 107. https://doi.org/10.1080/00461520701263368
Tall, D. (1993) Success and failure in mathematics: the flexible meaning of symbols as process and concept. Mathematics Teaching, (Vol. 14, pp. 6-10). ISSN 0025-5785.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2008). Children learn mathematics: Learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Dutch design in mathematics education, V: 1. Utrecht: Freudenthal Institute, Sense Publishers.
Calvo, C., y Barba, D. (2005). 3×6.mat, Cuadernos de estrategias de cálculo. Barcelona.
Plunkett, S. (1979). Decomposition and all that rot. Mathematics in School, 8(3), 2-5.
Purpura, D. J., Baroody, A. J., Eiland, M. D., y Reid, E. (2016). Fostering first graders’ reasoning strategies with basic sums: The value of guided instruction. Elementary School Journal, 117(1), 72–100. https://doi.org/10.1086/687809
Schneider, M., Merz, S., Stricker, J., De Smedt, B., Torbeyns, J., Verschaffel, L., y Luwel, K. (2018). Associations of number line estimation with mathematical competence: A meta-analysis. Child Development, 89, 1467-1484. https://doi.org/10.1111/cdev.13068
Articoli correlati:
