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Entrare in classe!
Quanti triangoli puoi costruire con questi quattro segmenti?
Provaci: gioca con i segmenti, combinali, ruotali, osserva e scopri quanti triangoli riesci a costruire.
Ci sono combinazioni di tre colori che non riesci a realizzare?
Tempo per pensare…
Non riesci a costruire triangoli di tutti i colori possibili, vero? Perché pensi che succeda?
Per costruire un triangolo, la somma delle lunghezze dei due lati più corti deve essere maggiore di quella del lato più lungo, altrimenti non sarà possibile costruire un triangolo: i tre segmenti non formeranno un triangolo.
Ci avevi mai fatto caso? Bene! Hai appena scoperto il teorema della disuguaglianza triangolare 😊
Guarda come lo fanno i bambini:
Nel gruppo dei 3 anni, i bambini esplorano, manipolano e si rendono conto che la lunghezza dei segmenti condiziona la forma del triangolo. Forse non sanno ancora dare un nome a ciò che sperimentano, ma percepiscono in modo manipolativo che
Dopo i primi passi, segue un processo che si estende lungo tutto il percorso dell’apprendimento: la costruzione del significato di triangolo.
Da qui in poi, tutto inizia a intrecciarsi: la disuguaglianza triangolare nella scuola primaria, gli angoli, le aree e persino il teorema di Pitagora. Ogni nuova scoperta si afferra a quelle precedenti e apre la porta a nuovi apprendimenti.
Passiamo all’azione: entriamo nelle classi!
Accompagnateci a scoprire, come si costruisce la traiettoria didattica sui triangoli nelle lezioni di matematica
Dove tutto ha inizio: una lezione nella scuola dell’infanzia
Sedie piccole, tappeti colorati e bambini seduti per terra. Siamo in una classe di Kinder (5 anni) a Mariemont, San Juan Unified School District, in California. L’obiettivo della sessione del giorno è scoprire i triangoli. Come si lavora su un concetto così astratto con bambini così piccoli?
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Osserviamo: la sessione inizia con una storia che dà senso ai nuovi concetti. Questa narrazione crea un contesto significativo e coinvolgente, proponendo una sfida che li motiva a costruire le conoscenze in modo attivo.
Alla fine del racconto, arriva il momento dell’esplorazione libera. I bambini, all’interno di piccoli gruppi, utilizzano gli stessi segmenti della storia per costruire figure. Non diamo loro istruzioni rigide: è un momento di esplorazione libera e guidata, in cui provano a combinare i segmenti creando figure aperte, chiuse, quadrilateri e, naturalmente, triangoli.
I momenti dedicati all’esplorazione manipolativa sono essenziali: permettono ai bambini di interiorizzare le proprietà delle figure in modo fisico, ancor prima di riuscire a verbalizzarle.
Nel frattempo, l’insegnante gira per la classe e gestisce l’attività, facendo domande che evocano la conoscenza: «Cosa avete costruito?», «Quanti lati ha?», «Questi tre segmenti possono formare un triangolo? Perché no?».
È in questo momento che, in modo organico, emerge il nucleo della disuguaglianza triangolare. Un gruppo di bambini cerca di unire un segmento lungo con due segmenti corti. Dopo averci provato diverse volte, arrivano alla conclusione che i segmenti «Non arrivano». L’insegnante, invece di dare una risposta diretta, chiede: «E se provate a cambiare il segmento lungo con uno più corto? Cosa succede?».
Attraverso questa conversazione, i bambini stessi si rendono conto che non tutte le combinazioni di tre segmenti formano triangoli. Non danno un nome al teorema, ma hanno un primo contatto con la disuguaglianza triangolare.
Dal nucleo al teorema: la disuguaglianza triangolare nella scuola primaria
Facciamo un salto in avanti. Se nella scuola dell’infanzia si piantano i semi, nella scuola primaria si annaffiano con ricchezza matematica. Entriamo in una classe di 5ª (10 anni). L’obiettivo di questa sessione è classificare i triangoli in base alle loro proprietà.
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La sessione inizia con una conversazione di gruppo per ricordare formalmente cos’è un poligono. Gli alunni danno il loro contributo alla conversazione descrivendone le proprietà: «È una figura non rotonda», «Ha lati dritti», «È una figura piana», «Ha dei vertici». Insieme costruiscono una definizione solida di poligono, mentre l’insegnante li aiuta a essere più specifici in ciò che dicono, guidandoli nell’uso del vocabolario matematico corretto.
Una volta definita cos’è un poligono, arriva il momento di vedere che tipi di poligoni è possibile costruire. E qui utilizzano lo stesso materiale della scuola dell’infanzia: i segmenti. Osservate come lo fanno: l’esplorazione è simile, ma ora l’obiettivo non è solo vedere «Cosa succede», ma capire perché succede.
Emergono grandi scoperte:
- La rigidità: gli alunni si rendono conto che i poligoni con più di tre lati sono deformabili, mentre il triangolo è rigido. Questa osservazione non è più un semplice aneddoto; cercano di verbalizzarla dicendo che, in un quadrilatero, «I lati opposti non si toccano per nessun vertice», il che permette il movimento, mentre nel triangolo «Tutti i lati toccano tutti gli altri».
Si concentrano nel formare triangoli a partire da quattro segmenti diversi. In questa esplorazione, come insegnanti, è importante incoraggiare gli alunni a essere sistematici e a usare strategie per trovare tutte le soluzioni possibili.
- La disuguaglianza triangolare: La domanda «Si può sempre costruire un triangolo?» riappare, ma questa volta la risposta è più analitica. Un’alunna utilizza perfino la misura reale dei segmenti per essere più precisa con la sua risposta. E no, non sempre l’unione di tre segmenti può creare un triangolo. Gli alunni verbalizzano la condizione generale: «La somma dei due lati più corti deve essere maggiore del lato lungo». E così finiscono per formulare il teorema della disuguaglianza triangolare. L’insegnante deve solo dargli un nome.
Infine, dopo aver condiviso tutte le proprietà, arriva il momento della classificazione. L’insegnante chiede agli alunni di ordinare i triangoli costruiti. Su cosa possono concentrarsi? La risposta la forniscono loro stessi: sulla lunghezza dei lati e sugli angoli. Così, iniziano a classificarli in equilateri, isosceli e scaleni, e in acutangoli, rettangoli e ottusangoli.
Il salto verso l’astrazione: la disuguaglianza triangolare nella scuola secondaria
Se nella scuola dell’infanzia si pianta il seme e nella scuola primaria si annaffia con ricchezza matematica, nella scuola secondaria arriva il momento di raccogliere i frutti delle conoscenze costruite. Ora, gli alunni si mettono alla prova, formulano congetture, le verificano e ci riflettono sopra.
In questa sessione di 3ª secondaria di primo grado, l’obiettivo è esplorare tutte le possibilità di triangoli con lati interi e perimetro fissato, proponendo agli alunni di costruire triangoli con gli stuzzicadenti.
Anzitutto, gli alunni osservano due figure e condividono caratteristiche comuni e differenze. E voi? Cosa vedete?
Alcune delle idee che solitamente condividono gli alunni sono: «Hanno lo stesso perimetro», «Sono isosceli», «Quello di sinistra sembra rettangolo…». Ne approfittiamo per verificarle.
E credete che ci sarebbero più triangoli con lo stesso numero di stuzzicadenti? Quanti potreste costruirne con perimetro 10?
Questa domanda apre la porta alla ricerca. Si propone agli alunni di costruire triangoli con materiali semplici, come gli stuzzicadenti, per misurarli e poter confrontare le congetture elaborate. In questo momento, devono ricordare che è necessario essere sistematici per ottenere tutti i possibili risultati.
Normalmente, stabiliscono un collegamento con i numeri e trasformano il problema geometrico in un problema numerico, dove ciò che cercano equivale a trovare le scomposizioni del numero 10 in tre addendi.
Qui, solo i più sistematici potranno essere sicuri di non aver tralasciato nessuna opzione:
{1, 1, 8}, {1, 2, 7}, {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {2, 2, 6}, {2, 3, 5}, {2, 4, 4}, {3, 3, 4}
E questo è proprio ciò che vogliamo, perché cadano nella trappola. Perché allora pensano che ci sono 8 triangoli diversi con perimetro di 10 stuzzicadenti, ma qui è dove devono recuperare l’idea della disuguaglianza triangolare. Sanno che alcune di quelle combinazioni di segmenti non formeranno un triangolo e che bisognerà tornare al contesto geometrico del problema per finire di trovare la soluzione.
