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Come insegnare a sottrarre: Strategie, materiali e fluidità di calcolo.
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Scopri questa risorsa che sintetizza in modo visivo alcune delle strategie più utilizzate nelle operazioni di base.
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Tabella dei Contenuti
Cosa significa realmente saper sottrarre?
Quanto fa 76 – 28? Spesso, quando pensiamo alle sottrazioni, la prima cosa che ci viene in mente è eseguire l’operazione in colonna.
Ma sottrarre significa molto di più. Fare matematica significa molto di più. Oltre a comprendere i contenuti in modo profondo, fare matematica significa risolvere problemi, creare collegamenti, ragionare e comunicare con diversi tipi di rappresentazione.
Ma torniamo alle sottrazioni. Hai trovato il risultato di 76 – 28? Come l’hai ottenuto? Avresti potuto farlo in un altro modo?
La risposta a queste domande ci permette di comprendere a fondo quanto gli alunni siano abili nel risolvere le sottrazioni. E, in ultima analisi, a dire se sanno sottrarre. Un alunno che padroneggia la sottrazione deve arrivare al risultato corretto in modo efficiente (veloce e corretto) e capire cosa sta facendo e perché.
Ma in che modo? Quali strategie usiamo? Quale materiale consigliamo per ogni strategia? E quando dovremmo mettere da parte i materiali utilizzati per passare all’astrazione?
Ogni operazione è come un iceberg: ciò che vediamo in superficie è solo una piccola parte della sua complessità. Immergiti nella lettura di questo articolo ed esplora tutto ciò che si nasconde dietro l’apprendimento delle sottrazioni.
Indice dei contenuti
Cos’è la sottrazione?
Se abbiamo 8 dolci e ne mangiamo 5, quanti me ne rimangono?
Questo esempio di situazione contestualizzata mostra chiaramente la visione più diffusa che abbiamo della sottrazione: l’azione di rimuovere. E, quindi, l’azione opposta a ciò che facciamo quando sommiamo.
Sottrarre, in realtà, significa anche separare elementi da un gruppo o trovare la distanza tra due numeri. Si tratta di un’operazione che risponde a domande come «Qual è la distanza tra 28 e 76?».
Come risolviamo una sottrazione: Dalla concretezza all’astrazione?
La prima cosa da capire è che non esiste un solo modo di sottrarre. L’algoritmo standard che tutti abbiamo imparato tra i banchi di scuola non è l’unico esistente. Sviluppare la fluidità significa anche conoscere i diversi modi di risolvere un’operazione e saper scegliere con criterio quello più appropriato in base al contesto e ai numeri usati.
Acquisiamo questa flessibilità costruendo un certo numero di strategie in classe, concentrandoci sulla loro comprensione ed esercitandoci per raggiungere l’efficienza.
Le principali strategie della sottrazione su cui lavoriamo sono:
- Salti sulla linea numerica
- Sottrazioni per scomposizione
Le strategie fanno riferimento a una sequenza di apprendimento basata sul modello CRA (Concreto, Rappresentativo, Astratto) che ne assicura la comprensione e l’assimilazione. Attraversiamo tre momenti:
- Si parte dalla manipolazione di diversi materiali (fase concreta).
- Si rappresenta su carta quanto fatto in modo manipolativo (fase rappresentativa).
- Si passa alle rappresentazioni astratte, ad esempio all’uso degli algoritmi (fase astratta).
Strategia dei salti sulla linea numerica
La prima strategia che introduciamo nel corso del primo anno di Scuola primaria è quella dei salti sulla linea numerica. La linea numerica è uno strumento visivo molto prezioso, facilmente adattabile a qualsiasi intervallo numerico e che usiamo per introdurre numeri interi, razionali e irrazionali.
L’uso della linea ci aiuta a lavorare sul calcolo mentale, a risolvere operazioni semplici in modo efficiente e a lasciarci alle spalle il conteggio con le dita.
Inoltre, ci permette di vedere la sottrazione nei suoi due modelli:
- Modello di rimozione degli elementi: immaginiamo di trovarci in un punto e di voler fare tanti salti all’indietro quanti sono gli elementi che vogliamo rimuovere.
- Modello di distanza tra due numeri: ci permette di vedere molto chiaramente la distanza tra due valori, rappresentando i due numeri che vogliamo sottrarre e quantificando la distanza del salto che li separa.
Traiettoria didattica della strategia dei salti sulla linea numerica
Il primo passo della sequenza didattica della strategia dei salti consiste nell’esercitarsi a saltare in avanti e all’indietro sulla collana di palline, per comprendere il senso numerico.
È normale che gli alunni alle prime armi con questa strategia, all’inizio, contino le palline una alla volta. Presto introduciamo l’uso di strategie più efficienti per rendere il conteggio più agile, ad esempio il cambio di colore ogni 5 o 10 unità.
Dopo aver risolto correttamente alcune sottrazioni sulla collana di palline, invitiamo gli alunni a fare un primo passo verso l’astrazione, rappresentando su carta ciò che hanno fatto in modo manipolativo.
Man mano che gli alunni acquisiscono sicurezza nell’esecuzione dei salti (sia in modo manipolativo che su carta), ampliamo gradualmente la quantità di palline: usiamo prima la collana da 10, poi quella da 20 e infine quella da 50.
Per abbreviare ulteriormente le rappresentazioni e incoraggiare gli alunni a uscire dalla loro zona di comfort, dopo aver risolto correttamente diverse sottrazioni con rappresentazioni concrete, li invitiamo a passare alla linea bicolore. In altre parole, continuiamo a distinguere i colori e i segni nella rappresentazione, ma non i numeri concreti.
Gli alunni si esercitano con i salti in diversi modi, fino a padroneggiare e ottimizzare la strategia. Ad esempio, la sottrazione 76 – 28 può essere risolta in due modi:
Di sicuro ci sono altri modi!
E non finisce qui. Arriverà il momento in cui non avranno bisogno di fare rappresentazioni su carta, perché sapranno come risolvere le operazioni mentalmente.
Strategia della sottrazione per scomposizione
Durante il 2º anno di scuola primaria, costruiamo un’altra strategia incentrata sul calcolo scritto della sottrazione: la strategia della scomposizione, che ci permette di arrivare all’algoritmo standard in modo trasparente.
Per padroneggiare questa strategia, la prima cosa da capire è che in matematica ogni cifra dei numeri coinvolti in un’operazione rappresenta una quantità specifica. E questo è fondamentale.
Ad esempio, il 76 è un numero formato da 7 decine (70 unità) e 6 unità. Per questo motivo, lavoriamo sul sistema posizionale decimale in modo approfondito, introducendo diversi materiali come l’abaco, all’inizio, e i blocchi a base 10, più avanti.
Traiettoria didattica della strategia della sottrazione per scomposizione
Il primo passo per lavorare alla strategia della scomposizione è sottrarre usando il materiale manipolativo. In questo caso i blocchi a base 10.
Grazie a questo materiale, i bambini interpretano la sottrazione come l’azione di rimuovere o separare elementi da una quantità iniziale. Cominciamo con una sottrazione semplice: 26 – 12. Scomponiamo il 26 in 2 decine e 6 unità. Se da 2 decine ne togliamo 1, ci resta 1 decina. E se da 6 unità ne togliamo 2, ci restano 4 unità. Quindi, il risultato di 26 – 12 è 14.
Arrivati a questa fase della manipolazione, passiamo a sottrazioni più complesse, in cui non possiamo sempre rimuovere tutti gli elementi che vogliamo perché non ne abbiamo abbastanza.
Ad esempio, 76 – 28: non possiamo rimuovere 8 unità da 6 unità. Quindi, incoraggiamo gli alunni a pianificare il procedimento e a chiedere in prestito alcune unità alle decine.
Pertanto, anziché scomporre il 76 in 7 decine e 6 unità, lo esprimiamo come 6 decine e 16 unità (convertiamo una decina in unità). Ora possiamo risolvere l’operazione. Da 16 unità ne togliamo 8, quindi ne restano 8. E da 6 decine ne togliamo 2, per cui ne rimangono 4. Il totale è 48.
È chiaro che questo procedimento aiuti gli alunni a comprendere che nulla avviene per caso e a cogliere l’origine di ogni passaggio. Tuttavia, sebbene sia molto trasparente, è un metodo lento e inefficiente.
Pertanto, dopo aver risolto alcune sottrazioni in questo modo, invitiamo gli alunni a fare un primo passo verso l’astrazione, rappresentando su carta ciò che stavano facendo in modo manipolativo. Ad esempio, durante la risoluzione della sottrazione, possono disegnare i blocchi a base 10 con accanto croci e linee come supporto visivo.
Dopo aver risolto con successo diverse sottrazioni in questo modo, li invitiamo nuovamente a uscire dalla loro zona di comfort, incoraggiandoli a ridurre l’uso di rappresentazioni concrete. E così, poco a poco, rimuoviamo questo tipo di supporti fino ad arrivare a una rappresentazione dell’algoritmo standard della sottrazione.
Dedurre risultati a partire da fatti conosciuti: La chiave per pensare come un matematico
Parallelamente alla costruzione delle strategie, in classe, gli alunni devono anche esercitarsi e sviluppare abilità matematiche chiave, come dedurre risultati a partire da fatti già conosciuti. La matematica è, per definizione, una scienza deduttiva.
E la deduzione, non solo favorisce lo sviluppo della capacità di ragionamento, ma stimola l’uso di abilità essenziali come la creazione di collegamenti, la formulazione di congetture e il pensiero critico.
Nel caso della sottrazione, questa abilità si manifesta nella capacità di semplificare le operazioni. Ad esempio, un alunno con buone competenze nella deduzione di fatti conosciuti a partire da quelli derivati, deduce facilmente che 76 – 28 equivale a 78 – 30.
Questa strategia, basata sul criterio di traslazione dei numeri, mantiene la stessa differenza tra i valori e semplifica l’operazione. Questa flessibilità dimostra non solo la padronanza del senso numerico, ma anche la capacità di ottimizzare i calcoli.
Gli alunni scoprono presto che questa strategia è molto utile per risolvere i calcoli più velocemente. Pertanto, è importante che si esercitino regolarmente per acquisire sicurezza e scioltezza.
L’importanza della stima
Infine, non dobbiamo dimenticare il calcolo della stima. Sì, i calcoli devono essere corretti e accurati. Ma è altrettanto necessario essere abili nel fare stime.
Stimare con accuratezza prima di risolvere un’operazione aiuta a scegliere la strategia più adatta, tenendo conto sia del contesto (per iscritto o a mente) sia della relazione tra i numeri coinvolti (vicini o distanti tra loro).
Inoltre, aver fatto una buona stima li aiuterà a determinare se il risultato ottenuto è corretto o meno.
Come sviluppare la fluidità e la capacità di giudizio nell’uso delle strategie
Uno dei pilastri per sviluppare la fluidità di calcolo è conoscere diversi modi di affrontare le operazioni che si vogliono risolvere.
Tutte le strategie che costruiamo coesistono in classe. Gli alunni devono comprenderle, ma anche sviluppare i criteri necessari per scegliere quella più appropriata in base al contesto e ai numeri coinvolti nelle operazioni.
Per raggiungere questo obiettivo, si dedica molto tempo alla costruzione di ogni strategia in profondità, fino ad assicurarsi che sia compresa. La teoria non è sufficiente ed esercitarsi è essenziale. Per questo motivo, proponiamo diversi spazi e attività per lavorare sull’agilità di calcolo.
Anche se questo processo richiede tempo, la costruzione di una strategia di solito non va oltre un singolo anno scolastico. Ad esempio, il passaggio dalla collana di palline alla linea numerica vuota avviene nel corso dei primi anni di scuola primaria e gli alunni arrivano al secondo anno sapendo eseguire salti direttamente sulla linea vuota.
Ciò che aumenta è la complessità dei numeri con cui operiamo. A tal fine, man mano che ampliamo l’intervallo numerico (ad esempio, passando dall’intervallo 10-20 all’intervallo 10-50), facciamo nuovamente ricorso ai materiali manipolativi per avviare un nuovo ciclo di astrazione.
In definitiva, l’obiettivo è costruire una solida base che permetta agli alunni di passare a processi matematici più astratti ed efficienti, con una conoscenza che permetta loro di adattarsi a qualsiasi situazione. Ora è il momento di esercitarsi per finire di automatizzare o consolidare ciò che hanno costruito. Ma su questo punto torneremo più avanti.
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