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Quante operazioni combinate può fare un alunno in cinque sessioni? Spoiler: più di quelle che immaginate.
Nelle attività di Innovamat, il lavoro con le operazioni combinate non è un obiettivo isolato: si organizza come una piccola sequenza intensiva all’interno di un percorso più ampio, in cui gli alunni torneranno più e più volte per continuare ad approfondire.
È proprio questa progressione che rende il lavoro sulle operazioni combinate in cinque sessioni qualcosa di molto più prezioso che insegnare una regola e ripeterla fino alla nausea. Ci permette di andare più a fondo nel contenuto, favorire la comprensione e generare opportunità di pratica quasi senza che gli alunni se ne accorgano. Questo è tutto ciò su cui lavorano gli alunni in queste sessioni:
- Generare la necessità di stabilire l’ordine delle operazioni
- Includere le potenze nelle operazioni combinate
- Pratica produttiva I
- Abbreviare la risoluzione di operazioni combinate dello stesso livello
- Pratica produttiva II
Gli alunni sono già pronti per iniziare a lavorare sulle operazioni combinate. Volete sapere come è andata nelle sessioni? Allora… entriamo nelle aule!
Scopriamo le operazioni combinate
Primo giorno di operazioni combinate. Gli alunni padroneggiano già le operazioni di base e, proprio nelle sessioni precedenti, hanno finito di consolidare le potenze. È ora che possiamo combinare tutto in una sola espressione.
Nella prima attività, proponiamo agli alunni di risolvere operazioni con la calcolatrice. Ma attenzione, il risultato è diverso! Perché succede questo? È per questo motivo che nasce la necessità di stabilire convenzioni sull’ordine in cui devono essere risolte le operazioni. In questa sessione, gli alunni scopriranno quale criterio seguire e perché.
E, naturalmente, una volta stabilito quell’ordine, si eserciteranno per consolidarlo. Guardate questa pagina del quaderno operativo:
Qui, la chiave è che gli alunni devono padroneggiare le operazioni combinate per poter risolvere le sfide senza dover ripetere meccanicamente i passaggi. Sono attività che, oltre a obbligarli a esercitarsi, lavorano anche su processi matematici come la risoluzione di problemi, l’ottimizzazione delle operazioni o il calcolo combinatorio.
Potenze e operazioni combinate
In questa seconda sessione gli alunni tornano a esercitarsi con le operazioni combinate. Seguendo la logica de il segno dell’oblio, recuperiamo ciò che abbiamo lavorato in precedenza, prima per ricordarlo ed evitare che si diluisca, e poi per poter continuare ad approfondire.
In questa sessione aggiungiamo nuove operazioni: incorporiamo le potenze e le radici. Cosa succede quando entrano in gioco queste nuove operazioni? Affrontiamo anche come risolvere operazioni dello stesso livello: da sinistra a destra, come nella lettura. In questo modo, gli alunni capiscono che, se compaiono due sottrazioni o due divisioni consecutive, dovranno risolverle seguendo quell’ordine.
Inoltre, poiché sappiamo che è importante offrire diverse rappresentazioni, proponiamo agli insegnanti di mostrare un video dove gli alunni scoprono due modi di rappresentare la risoluzione di una stessa operazione combinata:
- In colonna: la classica, una sotto l’altra, ripetendo i numeri quando necessario.
- A forma di albero: dove possono vedere a colpo d’occhio la gerarchia delle operazioni. Si tratta di una rappresentazione molto interessante perché è più facile visualizzare che in un’operazione combinata possiamo iniziare con due operazioni in parallelo senza che queste siano allo stesso livello. Per esempio, in questo caso, anche se volessero iniziare dalle parentesi, hanno visto che 8 × 9 e (9 – 6) si possono risolvere contemporaneamente.
Sessioni di pratica produttiva
Nella terza e quarta sessione, gli alunni si concentrano sull’esercitarsi con le operazioni combinate attraverso pratiche produttive. Cioè, situazioni in cui a partire da una domanda aperta si presenta agli alunni un contesto e un obiettivo che richiede pratica per produrre una risposta.
Nella terza sessione, per esempio, proponiamo loro un’attività molto potente: una roulette che genera cifre a caso e a partire dalla quale devono costruire operazioni combinate che diano come risultato 24. Senza rendersene conto, e guidati dalla sfida, stanno praticando operazioni combinate in modo significativo.
Nella quarta sessione continuiamo ad approfondire, e lo facciamo con proposte altrettanto ricche, come l’attività della data. La proposta di lavoro è semplice: scriviamo la data del giorno in uno dei formati possibili (gg/mm/aa o gg/mm/aaaa) e, senza cambiare l’ordine delle cifre, devono stabilire un’uguaglianza usando operazioni combinate.
Per esempio, per la data 17/11/2025 scriviamo alla lavagna: 1 7 1 1 2 0 2 5. A partire da qui, nascono proposte come:
- 1 × 7 − 1 − 1 + 20 = 25
- 1 × (7 − 1 − 1) × 2 : 02 = 5 (dove reinterpretano 02 come 2)
- O anche versioni usando solo le due cifre finali dell’anno, come 1 × 7 + 1 − (1 + 2) = 5.
Grazie a questa attività scoprono l’importanza delle parentesi, visualizzano la gerarchia delle operazioni e, quando risolviamo alcune espressioni a forma di albero, capiscono che a volte è più efficiente iniziare da una parte specifica dell’operazione.
La calcolatrice rotta: la grande conclusione
E così arriviamo all’ultima sessione di questa sequenza, centrata sulla nota attività di la calcolatrice rotta.
La sessione si articola in diversi momenti. Il primo, in gruppo classe, consiste nel trovare tre combinazioni diverse che diano come risultato 37 utilizzando unicamente le cifre 2, 5, 6, 8, 9 e 0, e tutti i simboli disponibili.
Il secondo momento consiste nel trovare i risultati dall’1 al 10 con i tasti 2, 5, × e −. Come possiamo ottenere i risultati utilizzando i tasti disponibili?
E infine, la fine della sessione si concentra sul lavoro individuale nel quaderno. Ed è in questo punto, in cui le insegnanti si muovono per l’aula per accompagnarli, che nascono momenti molto diversi e interessanti. Guardate tutto quello che possiamo osservare nel video!
Un momento molto ricco è la discussione che hanno due alunni su come risolvere un problema. La consegna è la seguente:
Per la prima soluzione, uno degli alunni riscrive 495 come 496 − 1 e 856 come 846 + 10. Cioè, ha mantenuto la stessa «base» di numeri ed è arrivato al risultato aggiustandoli leggermente.
Invece, la sua compagna usa una strategia di compensazione: cambia 856 con 867 e, perché il risultato finale non vari, ha aggiustato 495 a 484.
Entrambi hanno risolto l’attività correttamente, ma seguendo strategie diverse. Inoltre, qualcosa di importante è che, mentre l’alunna spiega il suo procedimento, l’insegnante va affinando il suo linguaggio perché prenda coscienza del valore posizionale delle cifre: non parliamo di «8», ma di «80».
Ma questi momenti sono anche opportunità per rilevare errori e opportunità di apprendimento. Uno degli alunni confonde il valore posizionale e tratta le cifre di un numero come se fossero unità indipendenti. Nel tentativo di rappresentare 885 senza utilizzare il 5, scrive 8 + 3 + 2 + 26, ignorando che l’8 rappresenta 800. Questo malinteso dà spunto a una conversazione potente con l’insegnante, in cui si rende esplicita l’importanza di comprendere i numeri come quantità e non solo come simboli.
Un altro momento molto ricco è quando l’insegnante guida un’alunna con la strategia dei salti, in cui le ricorda che può «andare oltre e poi sottrarre», aiutandola a verbalizzare un’idea che lei stessa stava sfiorando.
Dopo aver percorso queste cinque sessioni, la risposta alla domanda iniziale (Quante operazioni combinate può fare un alunno in cinque sessioni?) diventa evidente: moltissime. Più di quelle che stanno in una semplice lista di esercizi. Ma, soprattutto, operazioni combinate che hanno senso e che si costruiscono dalla comprensione. Perché non si tratta solo di quante ne fanno, ma di come pensano mentre le fanno.
