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Scopri come imparare a moltiplicare utilizzando strategie che vanno oltre la memorizzazione delle tabelline, promuovendo comprensione, fluidità e flessibilità.
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Scopri questa risorsa che sintetizza in modo visivo alcune delle strategie più utilizzate nelle operazioni di base.
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Cosa significa realmente saper moltiplicare?
«2 × 7 = 14, 2 × 8 = 16, 2 × 9 = 18». Ricordi? Ecco come molti di noi hanno imparato le tabelline. Una alla volta, in ordine. Come se si trattasse di nomi di fiumi o delle capitali del mondo. Ma saper ripetere le tabelline a memoria significa realmente saper moltiplicare?
Limitare l’apprendimento della moltiplicazione alla sola memorizzazione significa perdere l’occasione di comprenderne a fondo il senso. E comprendere il senso della moltiplicazione è fondamentale per avanzare nello studio di contenuti come la divisione e le potenze.
Un alunno che ha compreso la moltiplicazione arriva al risultato corretto in modo efficiente (con fluidità e precisione) e sapendo cosa sta facendo e perché.
Ma in che modo? Quali strategie usiamo? Come le impariamo? È davvero necessario conoscere a memoria le tabelline?
Ogni operazione è come un iceberg: ciò che vediamo in superficie è solo una piccola parte della sua complessità. Immergiti in questo articolo ed esplora tutto ciò che si nasconde dietro l’apprendimento delle moltiplicazioni.
Cos’è una moltiplicazione?
«6 + 6 + 6 + 6»: questa è l’idea più diffusa e comune della moltiplicazione, ovvero un’addizione ripetuta. Si tratta di un modello che consiste nella somma iterata dello stesso numero di elementi.
Ma la moltiplicazione può essere intesa anche come il calcolo della quantità di elementi disposti all’interno di un rettangolo. Questa idea è nota come modello rettangolare. Ad esempio, 6 × 4 rappresenta il numero totale di elementi all’interno un rettangolo formato da 4 righe e 6 colonne.
Come risolviamo una moltiplicazione: dalla concretezza all’astrazione
La prima cosa da capire è che non esiste un solo modo di moltiplicare.
L’algoritmo che tutti abbiamo imparato tra i banchi di scuola non è l’unico esistente. Acquisire fluidità significa conoscere i diversi modi di risolvere un’operazione e saper scegliere con criterio quello più adatto in base al contesto e ai numeri usati.
Questa flessibilità la acquisiamo costruendo un certo numero di strategie in classe, concentrandoci sulla loro comprensione ed esercitandoci per raggiungere l’efficienza.
Nel caso della moltiplicazione, costruiamo l’algoritmo partendo da un modello visivo e trasparente che ne facilita la comprensione: il modello rettangolare.
Questa strategia fa riferimento a una sequenza di apprendimento basata sul modello CRA (Concreto, Rappresentativo, Astratto) che ne assicura la comprensione e l’assimilazione. Attraversiamo tre momenti:
- Si parte dalla manipolazione di diversi materiali (fase concreta).
- Si rappresenta su carta quanto fatto in modo manipolativo (fase rappresentativa).
- Si passa alle rappresentazioni astratte, ad esempio all’uso degli algoritmi (fase astratta).
Tabelline: memorizzare o automatizzare?
Uno dei contenuti più importanti a partire dal 3º anno di Scuola primaria. È necessario impararle a memoria? Come dovrebbero essere apprese?
Saper trovare il risultato di una tabellina rapidamente è importante, sia che lo ricordiamo a memoria, sia che riusciamo dedurlo facilmente a partire da altri risultati di base.
Non saper rispondere rapidamente e non disporre di strategie efficaci per dedurre risultati significa dover affrontare calcoli di base, limitando la capacità di concentrarsi su aspetti più avanzati o complessi.
Ora, è importante riflettere su come le impariamo. Le tabelline vengono costruite progressivamente una alla volta, attraverso un lavoro che ruota principalmente attorno alla deduzione.
Ma questo non basta. La padronanza e l’automatizzazione delle tabelline non avviene istantaneamente dopo averle costruite. In classe, incoraggiamo gli alunni a esercitarsi risolvendo problemi (sfide), ricercando regolarità e affrontando diverse attività interattive. Tutto ciò con l’obiettivo di fornire strumenti e strategie per automatizzare i risultati e sapere dedurre rapidamente quelli che ancora non si riescono a trovare con fluidità.
Per saperne di più su come imparare le tabelline, dai un’occhiata a questo articolo.
Il modello rettangolare della moltiplicazione: il passo verso l’algoritmo standard
Il modello rettangolare è una delle strategie che utilizziamo per costruire in modo progressivo l’algoritmo standard e comprendere la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Il modello dell’addizione ripetuta è utile per le prime fasi del pensiero moltiplicativo, ma ha una durata breve. É necessario integrarlo con il modello rettangolare e collegarlo al calcolo delle aree che permette di dimostrarne la proprietà commutativa.
Il modello rettangolare consiste nel rappresentare la moltiplicazione come una quantità di elementi disposti a forma di rettangolo. Ad esempio, 17 × 4 corrisponde al numero totale di elementi disposti su 4 righe e 17 colonne.
Questo approccio consente di lavorare sulla scomposizione dei numeri, un’abilità che gli alunni avranno già messo in pratica con altre operazioni e che continueranno a sviluppare costruendo il concetto di divisione.
Sequenza didattica del modello rettangolare
Il primo passo per introdurre il modello rettangolare nella traiettoria didattica consiste nel risolvere moltiplicazioni disegnando un rettangolo suddiviso in righe e colonne.
Ad esempio, per calcolare il risultato di 17 × 4, disegniamo un rettangolo formato da 17 colonne e 4 righe. Inizialmente, gli alunni potrebbero avere difficoltà a risolvere questa moltiplicazione. Tuttavia, potranno dedurre la soluzione applicando strategie già apprese in precedenza, come la scomposizione dei numeri.
Sebbene non conoscano la tabellina del 17, conoscono quella del 4. Quindi possono scomporre il 17 in 8 + 9 e dividere il rettangolo grande in rettangoli più piccoli. Adattando 17 × 4 a (8 × 4) + (9 × 4), ottengono lo stesso risultato, ma con numeri più gestibili.
Questa scomposizione non è l’unica possibile. Uno degli aspetti più importanti è incoraggiare gli alunni a scomporre una moltiplicazione in molti modi diversi. 8 + 9 è un’opzione, ma lo è anche 10 + 7.
Questo modello semplifica la comprensione del procedimento e fornisce risorse nel caso in cui gli alunni si trovino in difficoltà in uno dei passaggi.
La rappresentazione visiva (il rettangolo con righe e colonne) che accompagna l’operazione è solo uno strumento di supporto temporaneo. Dopo aver risolto correttamente alcune moltiplicazioni utilizzando questo modello, gli alunni dovrebbero passare a rappresentazioni più astratte. Si inizia eliminando il supporto delle righe e delle colonne e si procede a rendere più compatte e sintetiche le rappresentazioni, fino ad arrivare prima allo schema moltiplicativo e poi all’algoritmo standard.
Vediamo come rendere più compatta una moltiplicazione leggermente più complessa, come 12 × 15. Poiché stiamo costruendo nuovi contenuti (le moltiplicazioni a due cifre), per comprendere il procedimento è necessario tornare alle rappresentazioni concrete.
Rappresentiamo quindi un rettangolo formato da 12 righe e 15 colonne e applichiamo lo stesso criterio: scomponiamo ogni numero in quantità più facilmente gestibili: il 12 in 10 + 2 e il 15 in 10 + 5. Successivamente, moltiplichiamo in modo sistematico tutti i valori tra loro e sommiamo i risultati:
(10 × 10) + (10 × 5) + (2 × 10) + (2 × 5) = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
Dopo aver risolto correttamente alcune moltiplicazioni, invitiamo gli alunni a farlo senza il supporto delle righe e delle colonne. Quando si sentono abbastanza sicuri, introdurremo lo schema moltiplicativo fino a raggiungere il modo più compatto possibile di rappresentare il procedimento: l’algoritmo di moltiplicazione standard.
Dedurre risultati a partire da fatti conosciuti: La chiave per pensare come un matematico
Parallelamente alla costruzione delle strategie e della pratica delle tabelline, in classe, gli alunni si esercitano a sviluppare abilità matematiche chiave, come la deduzioni di risultati a partire da fatti noti. La matematica è, per definizione, una scienza deduttiva. E la deduzione, non solo favorisce lo sviluppo della capacità di ragionamento, ma stimola l’uso di abilità essenziali come la creazione di collegamenti, la formulazione di congetture e il pensiero critico.
Un esempio concreto di questa competenza è un alunno che deduce il risultato di 12 × 15 sfruttando le sue conoscenze sui doppi e sulle metà.
Se il doppio di 15 è 30 e la metà di 12 è 6, deduce che il risultato di 12 × 15 è uguale al risultato di 30 × 6, ovvero 180.
Questo alunno ha adattato l’operazione, trasformandola in una più semplice da risolvere di cui conosceva il risultato.
Gli alunni scoprono presto che questa strategia è molto utile per risolvere i calcoli velocemente. Pertanto, è importante che si esercitino regolarmente per acquisire sicurezza e fluidità.
L’importanza della stima
Infine, è importante soffermarsi sul calcolo della stima. Sì, fare calcoli corretti e accurati è importante. Ma è altrettanto importante essere abili nel fare stime.
Stimare con accuratezza prima di risolvere un’operazione aiuta a scegliere la strategia più adatta in base alle circostanze (se si dispone di carta e penna o se il calcolo deve essere fatto mentalmente) e ai numeri coinvolti (se sono vicini o distanti tra loro).
Inoltre, fare delle buone stime aiuta a determinare se il risultato ottenuto è corretto o meno.
Come sviluppare la fluidità e la capacità di giudizio nell’uso delle strategie
Uno dei pilastri per sviluppare la fluidità di calcolo è conoscere diversi modi di affrontare le operazioni.
In classe convivono tutte le strategie che abbiamo costruito. Gli alunni devono comprenderle, ma anche sviluppare i criteri necessari per scegliere quella più appropriata in base al contesto e ai numeri coinvolti nelle operazioni
Per raggiungere questo obiettivo, dedichiamo il tempo adeguato alla costruzione di ogni strategia in modo approfondito, fino a garantirne la piena comprensione. La teoria non è sufficiente ed esercitarsi è essenziale. Per questo motivo, proponiamo diversi spazi e attività per lavorare sull’agilità di calcolo.
Anche se questo processo richiede tempo, la costruzione di una strategia di solito non va oltre un singolo anno scolastico. Il passaggio all’ottimizzazione delle distribuzioni, Ad esempio, la costruzione e il lavoro sulla fluidità con il modello rettangolare non vanno oltre il 4º anno di Scuola primaria.
Ciò che aumenta è la complessità dei numeri con cui operiamo. A tal fine, man mano che ampliamo l’intervallo numerico, facciamo nuovamente ricorso ai materiali manipolativi per avviare un nuovo ciclo di astrazione che abbandoneremo gradualmente.
In definitiva, l’obiettivo è fornire agli alunni una base solida che li prepari a padroneggiare processi matematici sempre più astratti ed efficienti. Una comprensione profonda della divisione permette loro di adattarsi a qualsiasi situazione con sicurezza e flessibilità. E non dimentichiamo che esercitarsi è fondamentale per consolidare e automatizzare ciò che abbiamo costruito.
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