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In questo articolo esploreremo l’addizione e le strategie per raggiungere la comprensione profonda e la fluidità di calcolo esatto e stimato.
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Scopri questa risorsa che sintetizza in modo visivo alcune delle strategie più utilizzate nelle operazioni di base.
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Cosa significa realmente saper sommare?
L’addizione, insieme alla sottrazione (intesa come operazione opposta) è l’operazione di base che prima si apprende tra i banchi di Scuola primaria.
Dalle prime lezioni di matematica alla vita quotidiana, l’addizione è presente in numerose situazioni: dal conteggio degli oggetti in casa al pagamento della spesa al supermercato, fino al calcolo dei punteggi nei giochi.
Non bisogna, però, confondere l’abilità di esecuzione di un algoritmo con la capacità di saper sommare o sottrarre. Fare matematica significa molto di più. Oltre a comprendere i contenuti in modo profondo, fare matematica significa risolvere problemi, creare collegamenti, ragionare e comunicare utilizzando diversi tipi di rappresentazione.
Saper sommare significa arrivare al risultato corretto in modo efficiente (con scioltezza e precisione), capire cosa si sta facendo e applicare correttamente le fasi di ogni strategia.
Ma in che modo? Quali strategie usiamo? Quale materiale di supporto consigliamo per ogni strategia? Quando dobbiamo smettere di usare il materiale di supporto consigliato?
Ogni operazione è come un iceberg: ciò che vediamo in superficie è solo una piccola parte della sua complessità. Immergiti in questo articolo ed esplora tutto ciò che si nasconde dietro l’apprendimento delle addizioni.
Cos’è l’addizione?
Se in un sacchetto ci sono 48 caramelle e ne aggiungiamo altre 28, quante caramelle ci sono in totale?
Questo esempio di situazione contestualizzata mostra solo uno degli aspetti dell’addizione: l’azione di aggiungere nuovi elementi a una quantità iniziale.
Ma l’addizione significa anche unire due o più gruppi di elementi. Ad esempio, se abbiamo 28 cubetti e ne aggiungiamo altri 48, quanti cubetti abbiamo in totale?
Come risolviamo le addizioni? Dalla concretezza all’astrazione
La prima cosa da sapere è che non esiste un unico modo per risolvere le addizioni. L’algoritmo standard che tutti abbiamo imparato tra i banchi di scuola non è l’unico esistente. Sviluppare la fluidità significa conoscere i diversi modi di risolvere un’operazione e saper scegliere con criterio quello più appropriato in base al contesto e ai numeri usati.
Questa flessibilità la acquisiamo costruendo un certo numero di strategie in classe, concentrandoci sulla loro comprensione ed esercitandoci per raggiungere l’efficienza.
Le principali strategie dell’addizione su cui lavoriamo sono:
- Salti sulla linea numerica
- Addizioni per scomposizione
Ciascuna delle due strategie fa riferimento a una sequenza di apprendimento basata sul modello CRA (Concreto, Rappresentativo, Astratto) che ne assicura la comprensione e l’assimilazione. Attraversiamo tre momenti chiave:
- Si parte dalla manipolazione di diversi materiali (fase concreta).
- Si rappresenta su carta quanto fatto in modo manipolativo (fase rappresentativa).
- Si passa alle rappresentazioni astratte, ad esempio all’uso degli algoritmi (fase astratta).
Strategia dei salti sulla linea numerica
La prima strategia che introduciamo durante il primo anno di Scuola primaria è quella dei salti sulla linea numerica.
La linea numerica è uno strumento visivo molto prezioso, facilmente adattabile a qualsiasi intervallo numerico e che usiamo per introdurre numeri interi, razionali e irrazionali.
L’uso della linea ci aiuta a lavorare sul calcolo mentale, a risolvere operazioni semplici in modo efficiente e a lasciarci alle spalle il conteggio con le dita.
Traiettoria didattica della strategia dei salti sulla linea numerica
Il primo passo della sequenza didattica della strategia dei salti consiste nell’esercitarsi a saltare in avanti e all’indietro sulla collana di palline, per comprendere il senso numerico.
È normale che gli alunni alle prime armi con questa strategia, all’inizio, contino le palline una alla volta. Tuttavia, presto introduciamo l’uso di strategie più efficienti per rendere il conteggio più agile, ad esempio il cambio di colore ogni 5 o ogni 10 unità.
Dopo aver risolto correttamente alcune addizioni con la collana di palline, invitiamo gli alunni a fare un primo passo verso l’astrazione, rappresentando su carta ciò che hanno fatto o in modo manipolativo.
Man mano che gli alunni acquisiscono sicurezza nell’esecuzione dei salti (sia in modo manipolativo che per iscritto), ampliamo gradualmente la quantità di palline: usiamo prima la collana da 10 palline, poi quella da 20 e infine quella da 50.
Per abbreviare ulteriormente le rappresentazioni e incoraggiare gli alunni a uscire dalla loro zona di comfort, dopo aver risolto correttamente diverse addizioni con rappresentazioni concrete, li invitiamo a passare alla linea bicolore. In altre parole, continuiamo a differenziare i colori e i segni nella rappresentazione, senza mostrare i numeri concreti.
Gradualmente, mettiamo da parte i colori e i segni per arrivare all’uso della linea numerica vuota.
Gli alunni si esercitano a eseguire saltare in molti modi diversi, per arrivare a padroneggiare e ottimizzare questa strategia.
Ad esempio, l’addizione 48 + 28 può essere risolta in due modi:
Di sicuro ce ne sono altri!
E non finisce qui! Arriverà il momento in cui gli alunni avranno talmente interiorizzato il concetto che non avranno bisogno della rappresentazione su carta, perché saranno in grado di risolvere l’addizione a mente.
Strategia dell’addizione per scomposizione
Nel corso del secondo anno di Scuola primaria introduciamo un altro modo di risolvere le addizioni: la strategia della scomposizione.
Per padroneggiare questa strategia, la prima cosa da capire è che ogni cifra dei numeri coinvolti in un’operazione rappresenta una quantità specifica. E questo è fondamentale.
Ad esempio, il 48 è un numero formato da 4 decine (40 unità) e 8 unità. Per questo motivo, lavoriamo sul sistema posizionale decimale in modo approfondito, introducendo diversi materiali come l’abaco, all’inizio, e i blocchi a base 10, più avanti.
Traiettoria didattica della strategia dell’addizione per scomposizione
Il primo passo per lavorare sulla strategia della scomposizione è sommare usando i materiali manipolativi. In questo caso, utilizzando i blocchi a base 10.
Con questo materiale, i bambini possono facilmente osservare ciò che fanno quando sommano: unire elementi. Ad esempio, per risolvere l’addizione 26 + 12, per prima cosa, scompongono il 26 in 2 decine e 6 unità e il 12 in 1 decina e 2 unità. Se uniscono le decine con le decine e le unità con le unità, vedono chiaramente che il risultato è 38 (3 decine e 8 unità).
Tuttavia, dobbiamo approfittare di questa fase di manipolazione per proporre delle addizioni più impegnative, che prevedano il riporto di decine e unità.
Ad esempio, nell’addizione 48 + 28, incoraggiamo gli alunni a rappresentare il 48 con 4 decine e 8 unità e il 28 con 2 decine e 8 unità. Partendo dalle decine, risolviamo 40 + 20 = 60. Anche se l’ordine non è importante, raggruppiamo le unità: 8 + 8.
Grazie al materiale manipolativo, gli alunni osservano che unendo 10 cubetti possono formare una decina. Pertanto, anziché esprimere l’addizione come 8 + 8, possono riscriverla come 10 + 6 (una barra di 10 cubetti e altri 6 cubetti).
L’addizione finale che otteniamo è 60 + 16 = 76.
È chiaro che questo processo aiuti a capire che le cose accadono per un motivo e a comprendere l’origine di ogni passaggio. Tuttavia, sebbene sia molto trasparente, risulta lento e inefficiente.
Per questo motivo, una volta che gli alunni hanno risolto correttamente alcune addizioni in questo modo (e al loro ritmo) dovremmo invitarli a fare un primo passo verso l’astrazione, rappresentando su carta ciò che hanno fatto in modo manipolativo. Ad esempio, mentre risolvono le addizioni, possono disegnare i blocchi a base 10 rappresentandoli con croci e linee che servano da supporto visivo.
Dopo aver risolto con successo diverse addizioni in questo modo, li invitiamo nuovamente a uscire dalla loro zona di comfort, incoraggiandoli a ridurre l’uso delle rappresentazioni concrete. E così, poco a poco, rimuoviamo questo tipo di supporti fino ad arrivare alla rappresentazione dell’algoritmo standard dell’addizione.
Automatizzazione di addizioni con una sola cifra
Spesso, quando si parla di apprendimento basato sulla comprensione profonda, sembra si demonizzi completamente la velocità di risposta. Tuttavia, alcuni contenuti dovrebbero far parte della conoscenza automatica degli alunni.
Uno degli aspetti da automatizzare è il calcolo dei risultati delle addizioni con addendi a una sola cifra. Ciò significa ricordare in un periodo di tempo ragionevole i risultati di addizioni semplici come 7 + 3 = 10, 8 + 5 = 13, 9 + 6 = 15, ecc.
Non saper rispondere rapidamente e non disporre di strategie efficienti per dedurre questi risultati significa dover dedicare tempo ai calcoli di base, il che riduce la capacità di concentrarsi su aspetti più avanzati o complessi.
È molto utile essere in grado di rispondere rapidamente, sia perché si conoscono i risultati a memoria, sia perché possono essere dedotti rapidamente a partire da altri risultati di base senza troppo sforzo.
Dedurre risultati a partire da fatti conosciuti: La chiave per pensare come un matematico
Parallelamente alla costruzione delle strategie, in classe, gli alunni devono anche esercitarsi a sviluppare abilità matematiche chiave, come dedurre risultati a partire da fatti già conosciuti. La matematica è, per definizione, una scienza deduttiva.
E la deduzione, non solo favorisce lo sviluppo della capacità di ragionamento, ma stimola l’uso di abilità essenziali come la creazione di collegamenti, la formulazione di congetture e il pensiero critico.
Nel caso della sottrazione, questa abilità si manifesta nella capacità di semplificare le operazioni. Ad esempio, un alunno con buone competenze nella deduzione di fatti conosciuti a partire da quelli derivati, deduce facilmente che 48 + 28 equivale quasi a 50 + 30 e che l’unica cosa da fare dopo questa operazione è togliere 4 unità dal risultato.
Questa capacità di convertire un’addizione con riporto (o con il cambio) in una più semplice dimostra il raggiungimento di flessibilità ed efficienza. Non solo semplifica il calcolo per rendere più facile l’operazione, ma compensa la modifica per ottenere il risultato corretto.
Gli alunni scoprono presto che questa strategia è molto utile per risolvere i calcoli velocemente. Pertanto, è importante che si esercitino regolarmente per acquisire sicurezza e scioltezza.
L’importanza della stima
Infine, non bisogna dimenticare l’importanza del calcolo della stima. Certo, gli alunni devono essere in grado di ottenere i risultati corretti con i calcoli esatti, ma devono anche sviluppare una certa scioltezza nel fare le stime.
Fare buone stime prima di risolvere un’operazione permette agli alunni di scegliere la strategia più appropriata (per iscritto o a mente) in base alle circostanze. E il fatto che i numeri siano vicini o lontani dal risultato influenza la scelta della strategia da utilizzare.
In definitiva, fare delle buone stime aiuta a determinare se il risultato ottenuto è corretto o meno.
Come sviluppare la fluidità e la capacità di giudizio nell’uso delle strategie
Uno dei pilastri per sviluppare la fluidità di calcolo è conoscere diversi modi di affrontare le operazioni che si vogliono risolvere.
Tutte le strategie che costruiamo coesistono in classe. Gli alunni devono comprenderle, ma anche sviluppare i criteri necessari per scegliere quella più appropriata in base al contesto e ai numeri coinvolti nelle operazioni.
Per raggiungere questo obiettivo, si dedica molto tempo alla costruzione di ogni strategia in profondità, fino ad assicurarsi che sia compresa. La teoria non è sufficiente ed esercitarsi è essenziale. Per questo motivo, proponiamo diversi spazi e attività per lavorare sull’agilità di calcolo.
Anche se questo processo richiede tempo, la costruzione di una strategia di solito non va oltre un singolo anno scolastico. Ad esempio, il passaggio dalla collana di palline alla linea numerica vuota avviene nel corso dei primi anni di scuola primaria e gli alunni arrivano al secondo anno sapendo eseguire salti direttamente sulla linea vuota.
Ciò che aumenta è la complessità dei numeri con cui operiamo. A tal fine, man mano che ampliamo l’intervallo numerico (ad esempio, passando dall’intervallo 10-20 all’intervallo 10-50), facciamo nuovamente ricorso ai materiali manipolativi per avviare un nuovo ciclo di astrazione.
In definitiva, l’obiettivo è costruire una solida base che permetta agli alunni di passare a processi matematici più astratti ed efficienti, con una conoscenza che permetta loro di adattarsi a qualsiasi situazione. Ora è il momento di esercitarsi per finire di automatizzare o consolidare ciò che hanno costruito. Ma su questo punto torneremo più avanti.
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