Eta hiru zuzenkik beti triangelua osatuko ez balute?

04/11/2025|Irakurketa: 8 min

Zenbat triangelu osa ditzakezu lau zuzenki hauekin?

Proba ezazu: jolastu zuzenkiekin, konbinatu, biratu eta beha itzazu, eta ikusi zenbat triangelu eraiki ditzakezun.

Ba al dago egin ezin izan duzun hiru koloreko konbinaziorik?

Pentsatzeko gordetako tokia…

Ez duzu lortu kolore posible guztietako triangeluak egitea, ezta? Zergatik uste duzu gertatzen dela?

Triangelu bat eraikitzeko, bi alde laburrenen luzeren baturak alde luzeenaren luzerak baino handiagoa izan behar du. Bestela, ez dago triangelu posiblerik: hiru zuzenkiek ez dute triangelurik osatuko.

Inoiz pentsatu al duzu? Bejondeizula! Desberdintza triangeluarraren teorema aurkitu berri duzu 😊

Begira nola jokatzen duten haurrek:

HH 3n, hiru urteko haurrek dagoeneko aztertzen eta manipulatzen dituzte zuzenkiak, eta ohartzen dira zuzenkien luzerak triangeluaren forma baldintzatzen duela. Beharbada oraindik ez dakite izena jartzen, baina manipulazioaren bidez badakite hiru zuzenkiko multzo guztiek ez dutela balio triangelu bat osatzeko. Ezin dira itxi!

Lehenengo urratsak egin ondoren, eskola-garai osora zabaltzen den ibilbide bat dator: triangeluak zer esan nahi duen eraikitzea.

Hortik aurrera, dena lotuz doa: desberdintza triangeluarra Lehen Hezkuntzan, angeluak, azalerak eta Pitagorasen teorema. Aurkikuntza berri bakoitza aurrekoetan ainguratzen da, eta ikaskuntza berriei atea zabaltzen die.

Ikus dezagun zuzenean: sar gaitezen ikasgeletan!

Zatoz gurekin: leiho txiki baten bitartez, matematikako eskoletan triangeluen ibilbidea nola eraikitzen den ikusiko dugu.

Non hasten da dena? Haur Hezkuntzako ikasgela batean

Oso aulki txikiak, koloretako alfonbra bat, eta haurrak lurrean eserita. Kinder-eko ikasgela batean gaude (5 urte) Mariemonten (San Juan Unified School District, Kalifornia). Gaurko saioaren helburua da triangeluak ezagutzea. Nola lantzen da hain kontzeptu abstraktua hain haur txikiekin?

Bideoak zure zain daude 🎥 Cookieak onartu eta azpitituluak gaitu, eduki guztiaz gozatzeko.

Azter dezagun: saioari hasiera emateko, ikasiko denari zentzua ematen dion istorio bat kontatzen da.
Kontakizun horrek testuinguru esanguratsua sortzen du, eta inplikatzera bultzatzen ditu haurrak, ezagutza modu aktiboan eraikitzeko motibatzen dituen erronka bat proposatzen baitie.

Ipuinaren ondoren, esplorazio libreko unea iristen da. Ikasleek istorio horretan ikusi dituzten zuzenki berberen bitartez, irudiak eraikitzen dituzte talde txikitan. Ez dago jarraibide zorrotzik; esplorazio libre eta gidatuko unea da. Zuzenkiak konbinatzen dituzte, eta irudiak sortzen dituzte: irekiak, itxiak, laukiak eta, nola ez, triangeluak.

Manipulazio hori funtsezkoa da: aukera ematen die irudien propietateak fisikoki barneratzeko, hitzez adierazi ahal izan baino askoz ere lehenago.

Hori guztia gertatzen den bitartean, irakaslea ikasgelan barrena dabil, eta jarduera kudeatzen du. Galderak egiten ditu ezagutzak pizteko: «Zer eraiki duzue?», «Zenbat alde ditu?», «Osa al dezakete hiru zuzenki hauek triangelu bat? Zergatik ez?».

Une horretan agertzen da, modu organikoan, desberdintza triangeluarraren hazia. Haur talde bat zuzenki luze bat bi laburrekin elkartzen saiatzen da. Behin baino gehiagotan saiatu ondoren, zuzenkiak «iristen ez direla» ondorioztatzen dute. Irakasleak, zuzenean erantzun ordez, hau galdetzen du: «Eta zuzenki luzearen ordez laburrago bat erabiltzen baduzue? Zer gertatzen da orain?».

Elkarrizketa horren bitartez, haurrak eurak ohartzen dira hiru zuzenkiko konbinazio guztiek ez dituztela triangeluak osatzen. Ez diote izena jartzen teoremari, baina dagoeneko egin dute topo desberdintza triangeluarrarekin.

Ezagutu HH 3ko saioaren gida osoa.

Hazitik teoremara: desberdintza triangeluarra Lehen Hezkuntzan

Jauzi bat egingo dugu aurrerantz. Haur Hezkuntzan haziak landatzen dira, eta Lehen Hezkuntzan aberastasun matematikoarekin ureztatzen dira. LH 5eko ikasgela batean sartuko gara (10 urte). Saio horren helburua da triangeluak propietateen arabera sailkatzea.

Bideoak zure zain daude 🎥 Cookieak onartu eta azpitituluak gaitu, eduki guztiaz gozatzeko.

Saioari hasiera emateko, taldeko elkarrizketa egiten da, poligono bat zer den formalki gogoratzeko. Ikasleek propietateak aipatzen dituzte: «Ez da irudi biribila», «Alde zuzenak ditu», «Irudi lau bat da», «Erpinak ditu». Elkarrekin, definizio sendo bat sortzen dute; bitartean, irakasleak esaten ari direna zehazten laguntzen die, hiztegi matematikoa behar bezala erabil dezaten.

Poligono bat zer den definitu ondoren, zer motatako poligonoak eraiki ditzaketen ikusteko unea iristen da. Eta, hor, begira nola erabiltzen duten Haur Hezkuntzan erabiltzen zuten material bera: zuzenkiak. Esplorazioa antzekoa da, baina, orain, helburua ez da soilik «zer gertatzen den» ikustea, baizik eta zergatik gertatzen den ulertzea.

Horrela gertatzen dira aurkikuntza handiak:

Zurruntasuna: ikasleak ohartzen dira hiru alde baino gehiago dituzten poligonoak deforma daitezkeela, baina triangelua zurruna dela.
Behaketa ez da anekdota hutsa, eta ahoz adierazten saiatzen dira: lauki batean, «erpinek ez dituzte kontrako aldeak ukitzen», eta, ondorioz, mugimendua dago; aldiz, triangelu batean, «guztiek guztiak ukitzen dituzte».

Gero, triangeluak osatzen dituzte lau zuzenki erabiliz. Esplorazio horretan, garrantzitsua da, irakasle gisa, ikasleak animatzea sistematikoak izan daitezen eta estrategiak erabil ditzaten soluzio posible guztiak aurkitzeko.

Desberdintza triangeluarra: galdera bera agertzen da, «Beti egin daiteke triangelu bat?», baina oraingoan erantzuna analitikoagoa da. Ikasle batek zuzenkien benetako neurriak ere erabiltzen ditu erantzun zehatzagoa emateko. Eta ez, hiru zuzenki elkartuta beti ez da triangelu bat sortzen. Ikasleek ahoz adierazten dute baldintza orokorra: «Bi alde laburrenen baturak alde luzeenak baino handiagoa izan behar du». Horrela, desberdintza triangeluarraren teorema formulatzen dute, beren hitzetan, eta irakasleak izena baino ez dio jarri behar.

Azkenik, propietate horiek guztiak mahai gainean jarrita, sailkatzeko unea da. Eraiki dituzten triangeluak ordenatzeko eskatzen die irakasleak. Zertan jar dezakete arreta? Eurei bururatzen zaie erantzuna: aldeen luzeran eta angeluetan. Horrela, triangeluak sailkatzen hasten dira: aldeberdinak, isoszeleak eta eskalenoak, eta angeluzorrotzak, angeluzuzenak eta angelukamutsak.

Ezagutu LH 5eko saioaren gida osoa

Abstrakziorako jauzia: desberdintza triangeluarra Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzan

Haur Hezkuntzan hazia landatzen da, Lehen Hezkuntzan aberastasun matematikoarekin ureztatzen da, eta Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzan, berriz, ezagutza hori biltzeko unea iristen da. Orain, ikasleek dakitena probatzen dute, aieruak formulatu eta egiaztatzen dituzte, eta haiei buruz hausnartzen dute.

Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzako 2. mailako saio honetan, helburua da alde osoak eta perimetro finkatua duten triangeluen aukera guztiak ikustea. Triangeluak zotzekin eraikitzea proposatzen zaie.

Lehenik, ikasleek bi irudiri begiratzen diete, eta zer berdintasun eta desberdintasun ikusten dituzten esaten dute. Eta zuek? Zer ikusten duzue?

Hona hemen ikasleek aipatu ohi dituzten ideietako batzuk: «Perimetro bera dute.» «Isoszeleak dira.» «Badirudi ezkerrekoak…». Bide batez, egiaztatu egingo dugu.

Zuen ustez, triangelu gehiago egongo lirateke zotz kopuru bera erabiliz gero? Eta 10 perimetroko zenbat egin ahal izango zenituzkete?

Galdera horrek atea zabaltzen dio ikerketari. Triangeluak eraikitzeko material xumeak erabiltzea proposatzen da (adibidez, zotzak), haiek neurtzeko eta aieruak kontrastatzeko. Une horretan, gogoan izan behar dute sistematikoak izan behar dutela emaitza posible guztiak lortzeko.

Eskuarki, lotura bat egiten dute zenbakiekin, eta problema geometrikoa zenbakizko problema bihurtzen dute; bilatzen ari direna aurkitzeko, hiru batugaitan deskonposatzen dute 10 zenbakia.

Hor, sistematikoenak soilik egongo dira ziur bat bera ere ahaztu ez zaiela:

{1, 1, 8}, {1, 2, 7}, {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {2, 2, 6}, {2, 3, 5}, {2, 4, 4}, {3, 3, 4}

Eta horixe ari gara bilatzen, tranpan eror daitezen. Orduan pentsatzen dute 10 zotzeko perimetroko 8 triangelu daudela, baina hor berreskuratu behar dute desberdintza triangeluarraren ideia. Badakite zuzenki-konbinazio horietako batzuek ez dituztela triangeluak osatuko; hortaz, problemaren testuinguru geometrikora itzuli behar dute, han baitago soluzioa.

Ezagutu Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzako 2. mailako saioaren gida osoa.