España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
Deskargatu liburu elektronikoa
Ezagutu baliabide hau, oinarrizko eragiketetan gehien erabiltzen diren estrategiak modu bisualean laburbiltzen dituena.
Zer esan nahi du kentzen jakiteak?
Zenbat da 76 ken 28? Askotan, kenketetan pentsatzen dugunean, burura etortzen zaigun lehendabiziko irudia eragiketa bertikalarena da.
Baina kenketa bat hori baino askoz gehiago da. “Matematika egitea” hori baino askoz gehiago da. Matematika egitea, besteak beste, edukiak sakon ulertzea da, problemak ebaztea, loturak egitea, arrazoitzea eta hainbat motatako adierazpenak erabiliz komunikatzea.
Baina itzul gaitezen hasieran aipatzen genuen kenketara. Zenbat da 76 ken 28? Nola aurkitu duzu emaitza? Beste modu batera egin zenezakeen?
Galdera horiei esker, ikasleek kenketak menderatzen dituzten ala ez ikusiko dugu. Ikasle batek kenketak ondo menderatzen dituela esateko, emaitza zuzena modu eraginkorrean (azkar eta zuzen) lortu behar du, eta zer ari den egiten eta zergatik ulertu behar du.
Baina nola iritsiko gara horraino? Zer estrategia aurkeztuko ditugu? Zer material erabiliko dugu estrategia bakoitzean? Eta noiz utziko diogu materiala erabiltzeari?
Kenketa iceberg bat bezalakoa da: gainazalean ikusten duguna konplexutasun osoaren zati txiki bat baino ez da. Artikuluan eta kenketaren erraietan dagoen didaktikan murgiltzera animatzen zaitugu.
Eduki taula
Zer da kenketa?
8 gozoki badauzkat eta 5 jaten baditut, zenbat geratuko zaizkit?
Testuinguruan kokatutako egora baten adibidea da. Kenketa, gehienbat, horixe dela pentsatzen dugu: zerbait kentzea. Eta, beraz, batuketaren aurkako eragiketa dela.
Baina kentzea multzo batetik elementuak baztertzea ere bada, edo bi zenbakiren arteko aldea aurkitzea. Halako egoera baten erantzuna bilatzeko, galdera hau egin dezakegu: «Zenbat batekoren aldea dago 28tik 76ra?»
Nola ebazten da kenketa?: Konkretutik abstraktura
Ez dago kenketak ebazteko modu bakarra. Guztiok ikasi dugun algoritmo estandarra kenketak egiteko estrategietako bat da. Eragiketa bat arin kalkulatzeak esan nahi du eragiketa ebazteko hainbat modu ezagutzen ditugula, eta egokiena aukeratzen dakigula testuingurua eta ageri diren zenbakiak kontuan izanik.
Malgutasun hori bermatzeko, ikasgelan estrategia ugari eraikitzen ditugu. Ikasleek estrategiok ondo ulertzea ezinbestekoa da; horregatik, askotan praktikatzen ditugu, ikasleak gero eta eraginkorragoak izan daitezen pixkanaka.
Hauek dira kenketa egiteko erabiltzen ditugun estrategia nagusiak:
- Zenbakien lerroan saltoak egitea
- Deskonposatuz kentzea
Estrategia bakoitzak KAA ereduan (konkretua, adierazgarria, abstraktua) oinarritutako ikaskuntza-sekuentzia bati jarraitzen dio, estrategia menderatzen eta ulertzen dela ziurtatzeko. Hiru une nagusi daude:
- Abiapuntua hainbat material erabiliz manipulatzea izango da (Konkretua).
- Manipulazio bidez egiten genuena paperean adieraziko dugu (Adierazgarria).
- Adierazpen abstraktuetara igaroko gara, algoritmoetara (abstraktua) adibidez.
Zenbakien lerroan saltoak egiteko estrategia
LHko 1. mailan, kenketak egiteko erabiliko dugun lehenengo estrategia aurkeztuko dugu: zenbakien lerroan saltoak egiteko estrategia. Zenbakien lerroa tresna baliotsu eta bisuala da, eta nahi beste zabal dezakegu: edozein zenbaki-tarte irudika dezakegu, eta, etorkizunean, zenbaki osoak, arrazionalak eta irrazionalak lantzeko balioko digu.
Gainera, oso aproposa da buruzko kalkulua lantzeko, eragiketa errazak ebazteko eta hatzekin gehiago ez zenbatzeko.
Estrategia hori erabiliz, kenketaren bi ereduak ikusiko ditugu:
- Elementuak kentzeko eredua: puntu batean gaudela pentsatuko dugu, eta kendu nahi ditugun elementu adina salto egingo ditugu atzeraka.
- Bi zenbakiren arteko aldearen eredua: bi zenbakiren arteko aldea argi ikusten laguntzen du: bi zenbakiak markatzen ditugu zenbakien lerroan, eta bien artean zenbateko saltoa dagoen kontatzen dugu.
Saltoen estrategiaren ibilbide didaktikoa
Saltoen estrategiaren sekuentzia didaktikoaren lehen urratsa boladun lepokoarekin aurrerantz eta atzerantz saltoak praktikatzea da, zenbakizko zentzua ulertzeko.
Estrategia hori erabiltzen hastean, normala da ikasleek bolak banaka kontatzea. Halere, estrategia eraginkorragoak sustatu behar ditugu arinago zenbatu nahi badugu, hala nola kolorea aldatzea (5 edo 10 zenbakitik behin).
Ikasleek boladun lepokoa erabiliz kenketa batzuk ondo egiten badituzte (haur bakoitzaren araberakoa izango da hori), abstrakziora lehen urratsa ematen lagundu behar diegu: manipulazioz egiten ari zirena paper batean irudikatuko dute.
Ikasleek saltoak menderatu ahala (bai manipulazio bidez, bai paperean), boladun lepokoan zenbaki-tartea handituko dugu: lehenengo 10 bolako lepokoarekin egingo dute lan, ondoren 20 bolako lepokoarekin, eta, azkenik, 50 bolakoarekin.
Jarraian, adierazpenak trinkotzen jarraitzeko eta ikasleak konfort-zonatik ateratzeko, aipatutako adierazpen ereduekin kenketa batzuk egin ondoren, bi koloreko zenbakien lerrora igaroko gara. Hau da, irudikapenean koloreak eta markak oraindik bereizita egongo dira, baina zenbakiak ez.
Ikasleek modu askotan praktikatuko dituzte saltoak, eta, pixkanaka, hobetuz eta kontzeptua menderatuz joango dira. Adibidez, 76 – 28 kenketa bi modutara egin genezake:
Baina ziur beste mila modu daudela!
Eta hori ez da guztia. Azkenean, kenketa barneratuta izango dute eta ez dute paperezko adierazpenik beharko, eragiketa buruz egiteko gai izango baitira.
Kenketa deskonposatuz egiteko estrategia
Lehen Hezkuntzako 2. mailan, kenketaren kalkulu idatzia lantzeko beste estrategia bat eraikitzen da: deskonposaketa-estrategia. Estrategia horrek algoritmo estandarrera modu gardenean iristeko aukera ematen digu.
Estrategia hori menderatzeko, lehenik eta behin ulertu behar da eragiketa batean parte hartzen duten zenbakien zifra bakoitzak kopuru jakin bat adierazten duela matematikan.
Adibidez, 76 zenbakia 7 hamarrekok (70 bateko) eta 6 batekok osatzen dute. Horregatik, sistema hamartar posizionala sakon lantzen dugu eta hainbat material erabiltzen ditugu saioetan, besteak beste, abakoa eta 10 oinarriko blokeak.
Deskonposatuz kentzeko estrategiaren ibilbide didaktikoa
Deskonposaketa-estrategia lantzen hasi aurretik, lehendabizi manipulatzeko materiala erabiliko dugu kenketak egiteko. Kasu honetan, 10 oinarriko blokeak.
Materiala erabiliz, ikasleek ulertzen dute kenketa bat hasierako kopuru batetik elementuak kentzea edo baztertzea dela. Adibidez, kenketa erraz batetik hasiko gara: 26 – 12. 26 zenbakia 2 hamarrekotan eta 6 batekotan deskonposatuko dugu. Bi hamarrekori hamarreko bat kentzen badiegu, hamarreko bat geratuko zaigu. Eta 6 batekori ken 2 egiten badugu, 4 bateko geratuko zaizkigu. Beraz, 26 – 12 = 14 da.
Manipulazio-etapa aprobetxa dezakegu kenketa zailagoak egiteko. Izan ere, kenketa batzuetan ezin dugu beti nahi beste kendu, ez daukagulako nahikoa.
Adibidez, 76 – 28 kenketaren kasuan: ezin dizkiegu 6 batekori 8 bateko kendu. Horrenbestez, egoera ondo planifikatzera animatu behar ditugu: hamarrekoei batekoak eskatu behar dizkiete, nahikoa edukitzeko.
Beraz, 76 zenbakia 7 hamarrekotan eta 6 batekotan deskonposatu ordez, 6 hamarrekotan eta 16 batekotan deskonposatuko dugu (hamarreko bat batekoetara pasatu dugu). Orain bai, eragiketa ebatz dezakegu. 16 batekori 8 kenduko dizkiogu, beraz, 8 geratuko zaizkigu. Eta 6 hamarrekori 2 kenduko dizkiogu, beraz, 4 geratuko zaizkigu. Guztira, 48.
Prozesu horren bidez, ikasleek argiago ikusten dute gauzak ez direla besterik gabe gertatzen, eta urrats bakoitza nondik datorren ulertzen dute. Hala eta guztiz ere, metodoa gardena izan arren, oso motela da, eta ez da eraginkorra.
Ikasleek estrategia hori erabiliz kenketa batzuk ebatzi ondoren, abstrakziora lehen urratsa ematen lagundu behar diegu: manipulazioz egiten ari zirena paper batean irudikatuko dute. Adibidez, kenketak ebaztean, 10 oinarriko blokeak marraztu ditzakete gurutze eta makilekin, laguntza bisuala izateko.
Laguntza horrekin kenketa batzuk ebatzi ondoren, konfort-zonatik ateratzera animatu behar ditugu, eta adierazpen zehatzak gero eta gutxiago erabiltzera bultzatu. Pixkanaka-pixkanaka, laguntzak kentzen joango gara, kenketaren algoritmo estandarraren adierazpenera iritsi arte.
Gertaera ezagunetatik emaitzak ondorioztatzea: matematikarien moduan pentsatzeko giltza
Estrategiak eraikitzeaz gain, ikasleek matematikarako funtsezko trebetasunak praktikatu eta garatu behar dituzte ikasgelan, hala nola ezagutzen dituzten gertaeretatik abiatuta emaitzak ondorioztatzea. Matematika dedukzioetan oinarritzen den zientzia da.
Horrek guztiak, arrazoitzeko gaitasuna sustatzeaz gain, funtsezko beste gaitasun batzuk ere sustatzen ditu, hala nola loturak ezartzea, aieruak formulatzea eta benetako matematikari gisa pentsatzea.
Kenketaren kasuan, trebetasun hori eragiketak sinplifikatzeko gaitasunean ikusten da. Adibidez, gertaera ezagunen eta ondorioztatutako gertaeren dinamika ongi menderatzen duen ikasle batek 76 – 28 eta 78 – 30 kenketak baliokideak direla ondoriozta dezake.
Aplikatutako doikuntza zenbakien translazioan oinarritzen da: kenketa batetik bestera balioen arteko aldea mantentzen da, baina bigarren kenketa sinpleagoa da. Malgutasun horrek erakusten du, ikasleak zenbakizko zentzua menderatzeaz gain, kalkuluak optimizatzeko gaitasuna ere baduela.
Segituan jabetzen dira estrategia hori oso erabilgarria dela kalkuluak azkar ebazteko; horregatik, une desberdinetan praktikatu behar dute segurtasuna eta arintasuna irabazteko.
Zenbatespenak egitearen garrantzia
Azkenik, iritzirako kalkulua edo zenbatespenak ere landu behar dira. Bai, kalkuluek zehatzak eta zuzenak izan behar dute. Baina zenbatespenak egiterakoan ezinbestekoa da malguak izatea.
Eragiketa bat ebatzi aurretik zenbatespenak ondo egiten badituzte, errazago aukeratuko dute zein den egoera horretan eta zenbaki horiekin erabiltzeko estrategiarik egokiena. Izan ere, eragiketak papera eta arkatza erabiliz edo buruz egin behar dituzten izan behar dute kontuan, baita zenbakiak elkarrengandik urrun ala gertu dauden ere.
Gainera, ondo zenbatetsi badute, lortutako emaitza zuzena ala okerra den ikusten lagunduko die.
Estrategiak erabiltzeko, arintasuna eta irizpidea
Eragiketak ebazterakoan arinak izateko, ebazten hasteko dauden moduak ezagutu behar dira.
Horregatik, ikasgelan elkarrekin bizi dira eraiki ditugun estrategia guztiak. Ikasleek estrategiak ulertzea garrantzitsua da, baina oso garrantzitsua da baita ere testuingurua eta eragiketetako zenbakiak kontuan izanda estrategietako zein erabiliko duten erabakitzen jakitea.
Helburu hori lortzeko, estrategia bakoitzari bere denbora eskaintzen diogu, ondo ulertzen eta barneratzen dutela ziurtatzeko. Hala ere, teoria ez da nahikoa: praktikatzea ezinbestekoa da. Horregatik, hainbat motatako espazioak eta jarduerak proposatzen dira, kalkulatzeko arintasuna lantzeko.
Prozesuak denbora eskatzen duen arren, estrategia bakoitza eraikitzen ikasturte bat pasatzen dugu, gutxi gorabehera. Esaterako, boladun lepokotik zenbakien lerro hutserako saltoa lehen hezkuntzako lehen mailan zehar egiten dugu, eta ikasleek 2. mailan badakite zenbakien lerro hutsean eragiketak saltoka ebazten.
Bestalde, eragiketetan gero eta zenbaki konplexuagoak erabiltzen ditugu. Zenbaki-tartea handitzen doan heinean (10-20, 0-20 edo 0-50), manipulatzeko materiala berreskuratzen da berriz, beste abstrakzio-ziklo bat egiteko eta pixkanaka-pixkanaka adierazpen abstraktuagoetara igarotzeko.
Azken finean, helburua oinarri sendo bat eraikitzea da, ikasleek prozesu matematiko abstraktuagoak eta eraginkorragoak ikasteko bidean aurrera egin dezaten eta edozein egoeratara egokitzeko aukera emango dien ezagutza eraiki dezaten. Orain, eraikitakoa automatizatu eta finkatu behar dugu. Baina hori aurrerago ikusiko dugu.
Erreferentzia bibliografikoak:
Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Cambridge: Harvard University Press.
Carpenter, T. P., et al. (1999). Las matemáticas que hacen los niños: la enseñanza de las matemáticas desde un enfoque cognitivo.
Traducción de Castro Hernández, C., y Alonso, M. L.
Hmelo‐Silver, C. E., Duncan, R. G., y Chinn, C. A. (2007). Scaffolding achievement in problem-based and inquiry learning: A response to Kirschner, Sweller, and Clark (2006). Educational Psychologist, 42, 99- 107. https://doi.org/10.1080/00461520701263368
Tall, D. (1993) Success and failure in mathematics: the flexible meaning of symbols as process and concept. Mathematics Teaching, (Vol. 14, pp. 6-10). ISSN 0025-5785.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2008). Children learn mathematics: Learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Dutch design in mathematics education, V: 1. Utrecht: Freudenthal Institute, Sense Publishers.
Calvo, C., y Barba, D. (2005). 3×6.mat, Cuadernos de estrategias de cálculo. Barcelona.
Plunkett, S. (1979). Decomposition and all that rot. Mathematics in School, 8(3), 2-5.
Purpura, D. J., Baroody, A. J., Eiland, M. D., y Reid, E. (2016). Fostering first graders’ reasoning strategies with basic sums: The value of guided instruction. Elementary School Journal, 117(1), 72–100. https://doi.org/10.1086/687809
Schneider, M., Merz, S., Stricker, J., De Smedt, B., Torbeyns, J., Verschaffel, L., y Luwel, K. (2018). Associations of number line estimation with mathematical competence: A meta-analysis. Child Development, 89, 1467-1484. https://doi.org/10.1111/cdev.13068
