España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
Deskargatu liburu elektronikoa
Ezagutu baliabide hau, oinarrizko eragiketetan gehien erabiltzen diren estrategiak modu bisualean laburbiltzen dituena.
Eduki taula
Zer esan nahi du zatitzen jakiteak?
«Ebatz dezagun 158 : 3. 15 hartuko dut; zenbat aldiz sartzen da 3 15ean? 5 aldiz. Eta orain… zer egin behar zen? 3a jaitsi? Ala lehendabizi kenketa egin behar zen?».
Ziur noizbait gertatu zaizula: zatiketa bat paperean ebazteko eskatzen dizutenean, denbora apur bat behar duzu zatiketaren algoritmoaren urrats guztiak gogoratzeko. Izan ere, eragiketa bat ikasterakoan algoritmoan bakarrik oinarritzen bagara, askotan ez dugu ondo ulertuko zer ari garen egiten.
Zatiketa ulertzea funtsezkoa da aurrerago ikusiko ditugun kontzeptuak lantzeko — ehunekoak, zatikiak edo proportzionaltasuna, esaterako —, baita gure egunerokotasunerako ere.
Zatitzeak algoritmo bat gauzatzetik harago doazen trebetasunak hartzen ditu barne. Ikasle batek zatiketa ondo ulertzen badu, emaitza zuzena modu eraginkorrean (arin eta zehatz) lortu behar du, eta zer ari den egiten eta zergatik ulertu behar du.
Baina nola lor dezakegu hori? Zer estrategia eta material erabiliko ditugu? Eta noiz utziko diogu materiala erabiltzeari?
Zatiketa iceberg bat bezalakoa da: gainazalean ikusten duguna konplexutasun osoaren zati txiki bat baino ez da. Artikuluan eta zatiketaren erraietan dagoen didaktikan murgiltzera animatzen zaitugu.
Zer da zatiketa?
Zatiketa banatzea edo multzoak egitea da. Eta hortxe dago koska.
Imajinatu 24 gozoki dauzkazula eta 6 haurren artean banatu nahi dituzula, bakoitzak kopuru bera jasotzeko moduan. Zenbat gozoki jasoko ditu bakoitzak? Ikuspegi hori, bidezko banaketa deritzoguna, zatiketaren inguruko ikuspegi zabalduena da.
Baina zatitzea paketeak egitea ere bada. Adibidez: 24 bola baditugu, 4 bolako zenbat pakete egin ditzakegu? Ikuspegi horrek beste dimentsio bat ematen dio zatiketari, kontzeptua sakonago ulertzeko.
Zatiketa nola ebatzi: konkretutik abstraktura
Ez dago zatiketak ebazteko modu bakarra. Guztiok ikasi dugun algoritmo estandarra zatiketak egiteko estrategietako bat da, baina gehiago daude. Eragiketa bat arin kalkulatzeak esan nahi du eragiketa ebazteko hainbat modu ezagutzen ditugula, eta egokiena aukeratzen dakigula testuingurua eta ageri diren zenbakiak kontuan izanik.
Malgutasun hori bermatzeko, ikasgelan estrategia ugari eraikitzen ditugu. Ikasleek estrategiok ondo ulertzea ezinbestekoa da; beraz, askotan praktikatzen ditugu arintasuna irabazteko.
Hauek dira zatiketa egiteko erabiltzen ditugun estrategia nagusiak:
- Banaketa-estrategia
- Deskonposaketa-estrategia
Banaketa-estrategiak KAA ereduan (konkretua, adierazgarria, abstraktua) oinarritutako ikaskuntza-sekuentzia bati jarraitzen dio, estrategia menderatzen eta ulertzen dela ziurtatzeko. Hiru une nagusitatik igaroko gara:
- Abiapuntua hainbat material erabiliz manipulatzea izango da (konkretua).
- Manipulazio bidez egiten genuena paperean adieraziko dugu (adierazgarria).
- Adierazpen abstraktuetara igaroko gara, algoritmoetara (abstraktua) adibidez.
Banaketa-estrategia: eskema bertikala
Zatiketaren kontzeptua eraikitzeko, lehendabizi banaketa-estrategia erabiltzen dugu. Zatiketaren idatzizko kalkulua modu gardenean lantzeko balio digu, algoritmo estandarrera iritsi arte.
Banaketa-estrategiaren ibilbide didaktikoa
Banaketa-estrategiaren ibilbide didaktikoan, lehen urratsa banatu edo multzokatu ditzakegun objektuak manipulatzea da. Horretarako, ikasleei zati berdinetan banatzen lagunduko dieten egoerak proposatzen ditugu, adibidez, kartak edo kubotxoak banatzea.
Banatu ahala, banaketa egiteko modu eraginkorragoak aurkitzera bultzatu behar ditugu: objektuak banaka banatu beharrean, binaka, bosnaka, hamarnaka… bana dezakete.
Prozesua hainbat aldiz errepikatu ondoren, abstrakziora lehen hurbilketa bat egitera gonbidatuko ditugu, eta manipulazio bidez egin dutena paperean adierazteko eskatuko diegu. Esaterako, era honetako egoera bat planteatuko diegu: «Nola bana daitezke 158 karta 3 jokalariren artean guztiek karta kopuru bera izan dezaten?».
Galdera horretatik abiatuta, haurrek banaketa-estrategia aipatuko dute eta, zer egin behar den kontatu ahala, urratsak idatziz erregistratuko dituzte.
Hasteko, baliteke jokalari bakoitzari 10 karta banatzea. Beraz, 128 karta geratuko dira banatzeke. Orain, seguruago sentitzen direnez, jokalari bakoitzari 20 karta banatuko dizkiote, eta 68 geratuko dira banatzeke. Berriro beste 20 karta banatuko dizkiote bakoitzari, eta 8 geratuko dira banatzeke. Azkenik, bakoitzari 2 karta eman beharko dizkiote. Beraz, azkenean, 52 karta banatu dizkiote jokalari bakoitzari eta 2 geratu dira sobera.
Prozesu horren bidez, ikasleek argiago ikusten dute gauzak ez direla besterik gabe gertatzen, eta urrats bakoitza nondik datorren ulertzen dute. Hala eta guztiz ere, prozesua gardena izan arren, oso motela da, eta ez da eraginkorra.
Horregatik, behin zatiketa batzuk modu horretan zuzen ebatzi dituztenean, konfort-zonatik irtetera gonbidatu behar ditugu, eta banaketa eraginkorragoak egitera animatu, paperezko irudikapenak ardatz hartuta.
Horrela, pixkanaka, aldamioak kentzen joango gara banaketak optimizatu arte, algoritmo estandarrarekin egiten genuen bezala.
Helburua ikasleek zatiketak modu eraginkorrean eta zentzuz ebaztea da, baina egiten ari garenaren zergatia eta zenbaki bakoitza nondik datorren ulertuz.
Eragiketa pixkanaka trinkotzeko, oso garrantzitsua da praktikatzea. Izan ere, prozesuak eta estrategiak menderatzeko, oso garrantzitsua izango da horiek automatizatzea eta algoritmizatzea. Horrela, testuinguru bakoitzean aukerarik onena aukeratzeko irizpidea garatuko dute ikasleek.
Zatiketa deskonposatuz egiteko estrategia
Aldi berean, zatiketa egiteko lantzen dugun beste estrategia bat deskonposaketa da. Estrategia sofistikatuagoa da, eta buruzko kalkuluaren bidez zatiketak ebazteko premisatik abiatzen da.
Buruzko kalkulua oso erabilgarria da batuketetan eta kenketetan, azkarragoa delako, eta gauza bera gertatzen da zatiketaren kasuan. Deskonposatzeko estrategiarekin, emandako zatiketa kalkulatzeko errazagoak diren zatiketetan deskonposatzen da, eta kalkuluak buruz egiten dira.
Ikasleei prozesua hobeto ulertzen laguntzen dieten eredu bisualetan oinarritu daiteke. Zentzu horretan, nahiz eta guztiz baliokidea ez izan, eredu errektangularra baliagarria izan daiteke kantitate bat zati txikiagoetan nola deskonposa daitekeen irudikatzeko.
Zatiketa zehatzetan, eredu errektangularrak aurretik deskonposaketak iradoki edo egiaztatzeko aukera ematen du, eta horri esker, haurrek aukera desberdinak esploratu eta deskonposaketa egokiena aurki dezakete. Hala ere, deskonposaketa egokiena aurkitzea ez da berehalakoa: denbora, praktika eta esperimentazio prozesu bat behar da kalkulu mentala fintzen joateko.
Adibidez, kalkula dezagun 158 : 3. Lehenik eta behin, 158 deskonposatu egingo dugu: 120 + 30 + 8. Ondoren, zenbaki bakoitza enuntziatuan ageri den zatitzaileaz zatituko dugu, 3z. Horrenbestez, 120 : 3 = 40, 30 : 3 = 10 eta 8 : 3 = 2 H2 izango da. Emaitza, beraz, 52 H2 da.
Gogoan izango dugu, deskonposaketa eraginkorra lortu nahi badugu, komeni dela zenbakiak aukeratzean gehienez ere haietakoren batek soilik sortzea hondarra duen zatiketa bat. Hondarra oso garrantzitsua da, eta planteatzen ditugun eguneroko egoeretan modu naturalean agertzen da. Gerta liteke hondarra izatea egoera baten erantzuna; adibidez, zenbat elementu ezin izan ditugun banatu galdetzen zaigunean. Gainera, aurrerago, hirugarren zikloan, hondarrak hamartarrekin eta zatigarritasunarekin loturak ezartzeko aukera emango digu.
Gertaera ezagunetatik emaitzak ondorioztatzea: matematikarien moduan pentsatzeko giltza
Estrategiak eraikitzeaz gain, ikasleek matematikarako funtsezko trebetasunak praktikatu eta garatu behar dituzte ikasgelan, hala nola ezagutzen dituzten gertaeretatik abiatuta emaitzak ondorioztatzea. Matematika dedukzioetan oinarritzen den zientzia da.
Dedukzioak egitean, arrazoitzeko gaitasuna sustatzeaz gain, funtsezko beste gaitasun batzuk ere sustatzen dira, hala nola loturak ezartzea, aieruak formulatzea eta benetako matematikari gisa pentsatzea.
Adibidez, gertaera ezagunen eta ondorioztatutako gertaeren dinamika menderatzen duen ikasle batek 158 : 3 zatiketaren emaitza ondoriozta dezake ezagutzen dituen beste emaitza batzuetan oinarrituta: 150 zati 3 50 dela baldin badaki, erraza izango zaio 153 : 3 (51), 156 : 3 (52) eta 159 : 3 (53) zatikiak ondorioztatzea.
Ikasle horrek zatiketa zehatzetan oinarrituta ondorioztatu du emaitza, hondarrik gabe. 156 : 3 = 52 denez eta 159 : 3 = 53 denez, 158 : 3 ia 53 izango da (52 H2). Ikuspegi horrek erakusten du, ikasleak ondorioztatzea zertan datzan ulertzeaz gain, badakiela testuinguruan modu malgu eta praktikoan aplikatzen.
Ikasleek segituan ikusten dute estrategia hori oso erabilgarria dela kalkuluak azkar ebazteko. Horregatik, une desberdinetan praktikatu behar dute segurtasuna eta arintasuna irabazteko.
Zenbatespenak egitearen garrantzia
Azkenik, iritzirako kalkulua edo zenbatespenak ere landu behar dira. Bai, kalkuluek zehatzak eta zuzenak izan behar dute. Baina zenbatespenak egiterakoan ezinbestekoa da malguak izatea.
Eragiketa bat ebatzi aurretik zenbatespenak ondo egiten badituzte, errazago aukeratuko dute zein den egoera horretan eta zenbaki horiekin erabiltzeko estrategiarik egokiena. Izan ere, eragiketak papera eta arkatza erabiliz edo buruz egin behar dituzten izan behar dute kontuan, baita zenbakiak elkarrengandik urrun ala gertu dauden ere.
Gainera, ondo zenbatetsi badute, errazago zehaztuko dute lortutako emaitza zuzena ala okerra den.
Estrategiak erabiltzeko, arintasuna eta irizpidea
Eragiketak ebazterakoan arinak izateko, ebazten hasteko moduak ezagutu behar dira.
Ikusi ditugun estrategia guztiak erabiltzen ditugu ikasgelan. Ikasleek estrategiak ulertzea garrantzitsua da, baina oso garrantzitsua da baita ere testuingurua eta eragiketetako zenbakiak kontuan izanda estrategietako zein erabiliko duten erabakitzen jakitea.
Helburu hori lortzeko, estrategia bakoitzari bere denbora eskaintzen diogu, ondo ulertzen eta barneratzen dutela ziurtatzeko. Hala ere, teoria ez da nahikoa: praktikatzea ezinbestekoa da. Horregatik, hainbat motatako espazioak eta jarduerak proposatzen dira, kalkulatzeko arintasuna lantzeko.
Prozesuak denbora eskatzen duen arren, estrategia bakoitza eraikitzen ikasturte bat pasatzen dugu, gutxi gorabehera. Esaterako, LHko 4. mailatik aurrera ez dugu banaketa optimizatzen jarraituko.
Horren ordez, eragiketetan gero eta zenbaki konplexuagoak erabiliko ditugu. Zenbaki-tartea handitzen doan heinean, manipulatzeko materiala berreskuratzen da berriz, beste abstrakzio-ziklo bat egiteko eta pixkanaka-pixkanaka adierazpen abstraktuagoetara igarotzeko.
Azken finean, helburua oinarri sendo bat eraikitzea da, ikasleek prozesu matematiko abstraktuagoak eta eraginkorragoak ikasteko bidean aurrera egin dezaten eta edozein egoeratara egokitzeko aukera emango dien ezagutza eraiki dezaten. Eta ez gaitezen praktikatzeaz ahaztu, oso garrantzitsua baita eraikitakoa finkatzeko eta automatizatzeko.
Erreferentzia bibliografikoak:
Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Cambridge: Harvard University Press.
Carpenter, T. P., et al. (1999). Las matemáticas que hacen los niños: la enseñanza de las matemáticas desde un enfoque cognitivo.
Traducción de Castro Hernández, C., y Alonso, M. L.
Hmelo‐Silver, C. E., Duncan, R. G., y Chinn, C. A. (2007). Scaffolding achievement in problem-based and inquiry learning: A response to Kirschner, Sweller, and Clark (2006). Educational Psychologist, 42, 99- 107. https://doi.org/10.1080/00461520701263368
Tall, D. (1993) Success and failure in mathematics: the flexible meaning of symbols as process and concept. Mathematics Teaching, (Vol. 14, pp. 6-10). ISSN 0025-5785.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2008). Children learn mathematics: Learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Dutch design in mathematics education, V: 1. Utrecht: Freudenthal Institute, Sense Publishers.
Calvo, C., y Barba, D. (2005). 3×6.mat, Cuadernos de estrategias de cálculo. Barcelona.
Ifrah, G. (1998). Historia universal de las cifras: la inteligencia de la humanidad contada por los números y el cálculo (pp. 437, 1311). Madrid: Espasa, D. L.
Sarramona, J. y Pintó, C. (2000). Identificació de les competències bàsiques en l’ensenyament obligatori. Barcelona: Consejo Superior de Evaluación del Sistema Educativo del Departamento de Educación de la Generalitat de Cataluña.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2002), Realistic mathematics education as work in progress, en: FOU-LAI LIN (eds.), Common sense in Mathematics. https://www.fisme.science.uu.nl/publicaties/literatuur/4966.pdf
