Fluidezaren Eremua Atlas matematikoan: nola ikasi biderkaketa-taulak zentzuz

08/09/2025|Irakurketa: 4 min

Fluidezaren Eremua Atlas matematikoan: nola ikasi biderkaketa-taulak zentzuz

Gaur Atlas matematikoa atal bati buruz hitz egin nahi dizuet, izugarri gustatzen zaidana eta funtsezko gai bat jorratzen duena: biderkaketa-taulak! 🔢

Gelako eraikuntza eta astean zehar paperean praktikatu ondoren (guztira 4 ordu inguru), ikasitakoa sendotzeko garaia iristen da. Eta hor sartzen da Atlas matematikoa: astean behin saio bat, praktika sistematiko eta indibidualizatuari eskainia.

Atlas matematikoaren atal bat da Fluidezaren Eremua, memoria psikologia kognitiboaren printzipioetan oinarrituta taulak memorizatzen laguntzen duen espazioa: berreskuratzea, tartekatzea eta txandakatzea.

Artikulu honetan azalduko dizuet!

Zergatik ikasi biderkaketa-taulak buruz?

Biderkaketa-taulak buruz jakitea ezinbestekoa da hurrengo kontzeptuetan ikaskuntza esanguratsua lortzeko. Baina, zergatik?

Ikasleek arazo konplexuagoak dituztenean —adibidez, hainbat eragiketa edo urrats—, lan-memoria garrantzitsuenerako gorde behar dute. Oinarrizko produktu bakoitza berriro kalkulatu behar badute, karga kognitiboa handiegia bihurtzen da (National Mathematics Advisory Panel, 2008; Sweller, Ayres & Kalyuga, 2011).

Berreskuratzea: ezagutza berriro ekartzea

Lehen printzipio nagusia berreskuratzea da.

Berreskuratzea da kontzienteki lan-memoriara ekartzea epe luzeko memorian dagoen ezagutza. Ume batek “3×7” galdetzen duenean eta “21” erantzuten duenean, berreskuratzen ari da.

Eta adi: berreskuratzea ikasteko modu indartsuenetako bat da. Askoz ere gehiago, berriro irakurri edo mekanikoki errepikatzea baino (Karpicke & Roediger, 2008). Berreskuratzen dugun bakoitzean, oroimenaren aztarna indartzen dugu.

Horregatik, Fluidezaren Eremuan, ikasleek ez dute soilik praktikatzen: ikasitakoa aktiboki berreskuratzen dute.

Ulermen sakona eta fluidezia: zentzuzko ikaskuntza

Taulak buruz ikasteak burmuinean leku gehiago askatzen du eta fluidezia ematen du. Baina buruz ikastea ez da zentzurik gabe errepikatzea: loturak sortzea da.

Adibidez, “6×4” izan daiteke “6×2”-ren bikoitza edo “3×4”-ren bikoitza (Baroody, Bajwa & Eiland, 2009). Zenbat eta lotura gehiago, orduan eta errazago gogoratzea.

Lotura horiek sortzeko hainbat eredu erabiltzen ditugu:

Talde-eredua (puntuak): batuketaren iterazioa irudikatzeko (Clark & Paivio, 1991). 👇

Eredu laukizuzena (array): biderketaren egitura geometrikoki ikustarazten du. Adibidez, 7×4 = 7×2 + 7×2, edo 9×4 laguntzen da ezagun den 10×4-n. Horrela ulertzen dugu biderketaren egitura, ez soilik erantzuna. 👇

Jauzi-eredua (jumping): zenbaki-lerroan jauzi berdinak egiten ditugu, batuketa errepikatu gisa. 👇

Ereduen aniztasun horrek taulak zentzuz finkatzen laguntzen du (Clark & Paivio, 1991).

Informazio gehiago nahi izanez gero, gomendatzen dizuet Cecilia Calvo eta Laura Moreraren artikulua, oinarrizko eragiketak nola eraiki azaltzen duena.

Tartekatzea: ikastea ahanzturaren aurkako lasterketa

Bigarren printzipioa tartekatzea da.

Gaur zerbait praktikatzen badugu eta bihar berriz ikusten badugu, gogoratuko dugu. Baina tarte handiagoa uzten badugu, berreskuratzea gehiago kostatuko zaigu… Horregatik, errepikapen espaziatua iraupen handiagoa ematen dio ikaskuntzari. Hori oso ondo azaltzen du Héctor Ruizek harian.

Hemen sartzen da Ebbinghausen ahanzturaren kurba (1885/1913). Hark aurkitu zuen:

Zerbaitek ikasi ondoren, lehenengo ordu/egunetan oso azkar ahazten dugu.
Gero, galera moteltzen da, baina inoiz ez da guztiz gelditzen.

Berreskuratzea une estrategikoetan praktikatzeak kurba hori “laua” egin dezake, oroimena indartuz eta iraunkorrago bihurtuz.

XX. mendean, ikerketek erakutsi zuten tartekatze-efektua haurren oroimenean ere indartsua dela, ez bakarrik helduengan (Vlach, Sandhofer & Kornell, 2008).

Atlas matematikoaren Fluidezaren Eremuan, gure algoritmoak kalkulatzen du produktu bakoitza noiz ahaztu litekeen eta une egokian berriz planteatzen du. Hau da errepikapen espaziatuaren sistemaren (SRS) ideia (Tabibian et al., 2019; Woźniak, 1990).

Txandakatzea: hobe ikasteko nahastea

Hirugarren printzipioa txandakatzea da.

Ez da soilik 2ko taula osoa praktikatu eta gero 3koa, baizik eta taula ezberdinetako produktuak txandakatzea eta, batzuetan, beste eragiketa batzuk (batuketa + biderketa) konbinatzea.

Horrek ikasleak behartzen ditu zein eragiketa den hautematera eta erantzun aurretik estrategia egokia aukeratzera. Horregatik, txandakatutako praktika blokeetan baino eraginkorragoa da (Rohrer, Dedrick & Stershic, 2015; Rohrer et al., 2020).

Ikerketek erakusten dute txandakatutako ariketekin entrenatutako ikasleek epe luzera gehiago gogoratzen dutela eta ikasitakoa egoera berrietara transferitzeko gaitasuna hobetzen dutela (Rohrer & Taylor, 2007/2010; Brunmair & Richter, 2019).

Atlas matematikoaren Fluidezaren Eremuan, ariketek ez dituzte produktu guztiak blokeetan aurkezten: nahastuta datoz. Horrela, ikasle bakoitzak pentsatu behar du zer berreskuratu eta nola lotu dagoeneko dakienarekin. Esfortzu horrek ikaskuntza finkatzen du, zentzu numerikoa indartzen du eta fluidez sendoagoa ematen du (Németh et al., 2019).

Irakasleentzat eta ikasleentzat

Irakasleek txosten argiak dituzte, zeinetan ikusten baita zein taula menperatzen duen ikasle bakoitzak, zein dauden bidean eta zein indartu behar duten. Horrela, datuetan oinarritutako erabaki azkarrak har ditzakete.

Gainera, proiektuak ahots-lokuzioak (kodeketa bikoitza: ikus + audio = lotura gehiago = ikaskuntza gehiago) eta aurrerapen-gunea eskaintzen ditu, ikasleek beren lorpenen jakitun izan daitezen.

Ondorioa

Atlas matematikoaren Fluidezaren Eremua irakasleei laguntzeko tresna da, biderkaketa-taulak lantzeko.

Ulermenarekin, memorizazioarekin, ikasteko gogoz. Eta, garrantzitsuena, oinarri zientifikoarekin. 🚀

Eskerrik asko irakurri izanagatik!

Erreferentzia bibliografikoak

Baroody, A. J., Bajwa, N. P., & Eiland, M. (2009). Why Can’t Johnny Remember the Basic Facts? Developmental Disabilities Research Reviews, 15(1), 69–79.

Brunmair, M., & Richter, T. (2019). Similarity matters: A meta-analysis of interleaved learning and its moderators. Psychological Bulletin, 145(11), 1029–1052.

Cepeda, N. J., et al. (2008). Spacing Effects in Learning: A Temporal Ridgeline of Optimal Retention. Psychological Science, 19(11), 1095–1102.

Clark, J. M., & Paivio, A. (1991). Dual Coding Theory and Education. Educational Psychology Review, 3(3), 149–210.

Ebbinghaus, H. (1885/1913). Memory: A Contribution to Experimental Psychology.

Karpicke, J. D., & Roediger, H. L. (2008). The Critical Importance of Retrieval for Learning. Science, 319(5865), 966–968.

National Mathematics Advisory Panel. (2008). Foundations for Success: The Final Report. U.S. Department of Education.

Németh, L., Korbmacher, J., Star, J. R., Kammerer, Y., & Salden, R. (2019). Interleaved learning in elementary school mathematics: Effects on the flexible and adaptive use of subtraction strategies. Frontiers in Psychology, 10, 86.

Rohrer, D., & Taylor, K. (2007/2010). Interleaved Practice Improves Mathematics Learning. Journal of Educational Psychology.

Rohrer, D., Dedrick, R. F., & Stershic, S. (2015). Interleaved practice improves mathematics learning. Journal of Educational Psychology, 107(3), 900–908.

Rohrer, D., Dedrick, R. F., Hartwig, M. K., & Cheung, C.-N. (2020). A randomized controlled trial of interleaved mathematics practice. Journal of Educational Psychology, 112(1), 40–52.

Sweller, J., Ayres, P., & Kalyuga, S. (2011). Cognitive Load Theory. Springer.

Tabibian, B., et al. (2019). Enhancing human learning via spaced repetition optimization. PNAS, 116(10), 3988–3993.

Vlach, H. A., Sandhofer, C. M., & Kornell, N. (2008). The spacing effect in children’s memory and category induction. Cognition, 109, 163–167.

Wozniak, P. A. (1990). Optimization of learning: A new approach and computer application [Master’s thesis, University of Technology in Poznan]

Ziegler, E., & Stern, E. (2014). Delayed benefits of learning elementary algebraic transformations through contrasted comparisons. Learning and Instruction, 33, 131–146.

Ziegler, E., & Stern, E. (2016). Consistent advantages of contrasted comparisons: Algebra learning under direct instruction. Learning and Instruction, 41, 41–51.