España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
Deskubritu nola ikasi biderketa biderkatzeko tauletatik harago doazen estrategiak erabiliz eta ulermena, arintasuna eta malgutasuna bultzatuz.
Deskargatu liburu elektronikoa
Ezagutu baliabide hau, oinarrizko eragiketetan gehien erabiltzen diren estrategiak modu bisualean laburbiltzen dituena.
Eduki taula
Zer esan nahi du biderkatzen jakiteak?
«2 × 7 = 14, 2 × 8 = 16, 2 × 9 = 18». Gogoratzen al zara? Horrelaxe ikasi genituen gehienok biderkatzeko taulak, banan-banan eta ordenan, ibaiak eta hiriburuak ikasten diren moduan. Baina biderkatzeko taulak buruz jakiteak benetan biderkatzen dakigula esan nahi al du?
Taulen memorizazioan bakarrik oinarritzen bagara, biderketa sakon ulertzeko aukera galtzen dugu. Eta biderkatzeak zer esan nahi duen ulertzea funtsezkoa da ondorengo kontzeptuetan aurrera egiteko, hala nola zatiketan edo berreketan.
Ikasle batek biderketa ondo ulertzen badu, emaitza zuzena modu eraginkorrean (arin eta zuzen) lortu behar du, eta zer ari den egiten eta zergatik ulertu behar du.
Baina nola iritsiko gara horraino? Zer estrategia aurkeztuko ditugu? Zein da estrategia horiek ikasteko prozesua? Taulak buruz jakin behar al dituzte?
Ikusten duzunez, biderketa iceberg bat bezalakoa da: gainazalean ikusten duguna konplexutasun osoaren zati txiki bat baino ez da. Artikuluan eta biderketaren erraietan dagoen didaktikan murgiltzera animatzen zaitugu.
Zer da biderketa?
Biderketaren esanahirik ezagunena eta hedatuena batuketa iteratuarena da; adibidez, «6 + 6 + 6 + 6». Eredu horretan, elementu kopuru bat behin eta berriz batzen da.
Baina biderketa beste modu batera ere uler daiteke: elementuak laukizuzen forman jarri eta zenbat dauden kalkulatzea ere bada. Ideia horri laukizuzen eredua deitzen diogu. Adibidez, 6 × 4 biderketak 4 errenkadako eta 6 zutabeko laukizuzen batean jarritako elementuen guztizko kopurua adierazten du.
Biderketa nola ebatzi: konkretutik abstraktura
Ez dago biderketak ebazteko modu bakarra.
Guztiok ikasi dugun algoritmo estandarra biderketak kalkulatzeko estrategietako bat da, baina gehiago daude. Eragiketa bat arin kalkulatzeak esan nahi du eragiketa ebazteko hainbat modu ezagutzen ditugula, eta irizpide bat daukagula egokiena aukeratzeko testuingurua eta ageri diren zenbakiak kontuan izanik.
Malgutasun hori bermatzeko, ikasgelan estrategia ugari eraikitzen ditugu. Ikasleek estrategiok ondo ulertzea ezinbestekoa da; beraz, askotan praktikatzen ditugu arintasuna irabazteko.
Biderketaren kasuan, algoritmoa eredu bisual eta garden batetik abiatuta eraikitzen dugu: laukizuzen eredua.
Estrategia horrek KAA ereduan (konkretua, adierazgarria, abstraktua) oinarritutako ikaskuntza-sekuentzia bati jarraitzen dio, estrategia menderatzen eta ulertzen dela ziurtatzeko. Hiru une nagusi daude:
- Abiapuntua hainbat material erabiliz manipulatzea izango da (Konkretua).
- Manipulazio bidez egiten genuena paperean adieraziko dugu (Adierazgarria).
- Adierazpen abstraktuetara igaroko gara, algoritmoetara (abstraktua) adibidez.
Biderkatzeko taulak: zer da hobe, buruz ikastea ala automatizatzea?
Biderkatzeko taulak 2. zikloko eduki izarra dira. Buruz jakin behar dira? Nola ikasi beharko genituzke?
Biderkatzeko taulen emaitzak azkar etorri beharko litzaizkiguke burura, dela emaitza buruz dakigulako, dela oso azkar ondorioztatu dugulako beste emaitza batzuetan oinarrituz, ahalegin handirik egin gabe.
Haurrek ez badakite azkar erantzuten eta ez badute emaitzak ondorioztatzeko estrategia eraginkorrik, esfortzua egin beharko dute oinarrizko kalkuluak egiteko, eta horrek murriztu egiten du alderdi aurreratuagoetan edo konplexuagoetan kontzentratzeko gaitasuna.
Garrantzitsuena, halere, nola ikasten ditugun da. Biderketa-taulak ez dira aurkezten, banan-banan eraikitzen dira, eta dedukzioan oinarritzen gara neurri handi batean.
Baina hori ez da nahikoa. Taulak eraiki ondoren, ez dira berehala menderatzen eta automatizatzen. Horretarako, taulak lantzea sustatzen da ikasgelan, problemak ebatziz (erronkak), ereduak bilatuz eta jarduera interaktibo ugari eginez. Helburua ikasleek tresnak eta estrategiak edukitzea da taulen emaitzak automatizatzeko eta oraindik arin kalkulatzen ez dituzten emaitzak azkar ondorioztatzeko.
Biderketa-taulak ikasteari buruz gehiago jakin nahi baduzu, irakurri artikulu hau.
Biderketaren laukizuzen eredua: jauzia algoritmo estandarrerantz
Laukizuzen eredua erbiltzen dugu estrategia modura algoritmo estandarra pixkanaka eraikitzeko eta biderketaren propietate trukakorra ulertzeko.
Batuketa iteratuaren ereduak balio digu pentsamendu biderkatzailearen aurreneko faseetan, baina ibilbide laburra du. Laukizuzen ereduarekin osatu behar dugu, eta azaleren kalkuluarekin lotu, propietate trukakorra agerian gera dadin.
Laukizuzen eredua biderketa laukizuzen forman kokatutako elementuen kopuru gisa imajinatzean datza. Adibidez, 17 × 4 eragiketak 4 errenkadatan eta 17 zutabetan zenbat elementu dauden adieraziko du.
Gainera, ikuspegi horrek zenbakien deskonposaketa lantzeko aukera ematen du. Ikasleek beste eragiketa batzuekin praktikatuko dute trebetasun hori, eta zatiketa eraikitzen dutenean jarraituko dute garatzen.
Laukizuzen ereduaren sekuentzia didaktikoa
Laukizuzen eredua erabiltzen hasteko, lehen urratsa errenkada eta zutabetan banatutako laukizuzen itxura duen marrazki bat erabiltzen hastea da.
Adibidez, 17 × 4 kalkulatzeko, 17 zutabe eta 4 errenkada dituen laukizuzen bat marrazten dugu. Haurrak zailtasunak izan ditzake hasieran biderketa zuzenean ebazteko, baina menderatzen dituzten estrategiak erabil ditzakete emaitza ondorioztatzeko, hala nola zenbakiak deskonposatzea.
Baliteke 17aren taula ez jakitea, baina bai 4arena. Beraz, 17 zenbakia 8 + 9 gisa deskonposa dezakete, eta laukizuzen handia laukizuzen txikiagoetan banatu. 17 × 4 biderketa (8 × 4) + (9 × 4) gisa planteatzen badugu, emaitza bera lortuko dugu, baina errazago izango da kalkulatzea.
Baina beste hamaika modutara deskonposa dezakegu. Alderdi garrantzitsuenetako bat biderketa bat deskonposatzeko dauden moduei erreparatzea da. 8 + 9 aukera bat da, baina baita 10 + 7 ere.
Eredu horrek prozedura ulertzen laguntzen die, eta urratsen batean galtzen badira, baliabideak izango dituzte aurrera jarraitzeko.
Eragiketarekin batera doan irudikapen bisuala (errenkadak eta zutabeak dituen laukizuzena) aldi baterako euskarria izango da.
Eredu hori erabiliz biderketa batzuk zuzen ebatzi dituztenean, adierazpen abstraktuagoetara igaroko gara. Lehenik eta behin, laguntza gisa erabiltzen genituen errenkadak eta zutabeak baztertuko ditugu, eta aurrerago adierazpenak trinkotzen joango gara, biderketa-eskemara eta algoritmo estandarrera iritsi arte.
Ikus dezagun nola trinkotzen dugun biderketa konplexuago bat, adibidez, 12 × 15. Eduki berri bat eraikitzen ari garenez (bi zifrako biderketak), adierazpen zehatzetara jo behar dugu prozedura argi eta garbi ulertzeko.
Beraz, 12 errenkadako eta 15 zutabeko laukizuzen bat irudikatuko dugu, eta irizpide bera erabiliko dugu: kopuru bakoitza beste kopuru errazago batzuetan deskonposatuko dugu. 12 zenbakia 10 + 2 izango da, eta 15 zenbakia 10 + 5. Ondoren, balio guztiak elkarren artean biderkatuko ditugu sistematikoki, eta emaitzak batuko ditugu:
(10 × 10) + (10 × 5) + (2 × 10) + (2 × 5) = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
Ikasleek estrategia hori erabiliz biderketa batzuk zuzen ebatzi dituztenean, errenkada eta zutaberik gabe kalkulatzera animatzen ditugu. Behin hori lortuta, biderketa-eskemara igaro daitezke, gehiago trinkotu ezin dugun estrategiara iritsi arte: biderketaren algoritmo estandarra.
Ezagutzen dituzten gertaeretan oinarrituz emaitzak ondorioztatzea: matematikarien moduan pentsatzeko giltza
Estrategiak eraiki eta taulak praktikatzeaz gain, ikasleek funtsezko trebetasunak garatu behar dituzte ikasgelan, hala nola ezagutzen dituzten gertaeretatik abiatuta emaitzak ondorioztatzea. Matematika dedukzioetan oinarritzen den zientzia da.
Dedukzioak egitean, arrazoitzeko gaitasuna sustatzeaz gain, funtsezko beste gaitasun batzuk ere sustatzen dira, hala nola loturak ezartzea, aieruak egitea eta benetako matematikari gisa pentsatzea.
Adibidez, ikasleak 12 × 15 biderketa bikoitzen eta erdien kontzeptua erabiliz ebazten badu, aipatutako gaitasunak dituela esan nahi du.
15en bikoitza 30 bada, eta 12ren erdia 6, 12 × 15 egin beharrean 30 × 6 egin dezake emaitza aurkitzeko (180).
Ikasleak eragiketa doitzen jakin du, eta ebazten dakien beste eragiketa sinpleago bat lortu du.
Ikasleek segituan ikusten dute estrategia hori oso erabilgarria dela kalkuluak azkar ebazteko.
Horregatik, une desberdinetan praktikatu behar dute segurtasuna eta arintasuna irabazteko.
Zenbatespenak egitearen garrantzia
Azkenik, iritzirako kalkulua edo zenbatespenak ere landu behar dira. Bai, kalkuluek zehatzak eta zuzenak izan behar dute. Baina zenbatespenak egiterakoan ezinbestekoa da malguak izatea.
Eragiketa bat ebatzi aurretik zenbatespenak ondo egiten badituzte, errazago aukeratuko dute zein den egoera horretan eta zenbaki horiekin erabiltzeko estrategiarik egokiena. Izan ere, eragiketak papera eta arkatza erabiliz edo buruz egin behar dituzten izan behar dute kontuan, baita zenbakiak elkarrengandik urrun ala gertu dauden ere.
Gainera, ondo zenbatetsi badute, lortutako emaitza zuzena ala okerra den ikusten lagunduko di
Estrategiak erabiltzeko, arintasuna eta irizpidea
Eragiketak ebazterakoan arinak izateko, ebazten hasteko dauden moduak ezagutu behar dira.
Horregatik, ikasgelan elkarrekin bizi dira eraiki ditugun estrategia guztiak. Ikasleek estrategiak ulertzea garrantzitsua da, baina oso garrantzitsua da baita ere testuingurua eta eragiketetako zenbakiak kontuan izanda estrategietako zein erabiliko duten erabakitzen jakitea.
Helburu hori lortzeko, estrategia bakoitzari bere denbora eskaintzen diogu, ondo ulertzen eta barneratzen dutela ziurtatzeko. Hala ere, teoria ez da nahikoa: praktikatzea ezinbestekoa da. Horregatik, hainbat motatako espazioak eta jarduerak proposatzen dira, kalkulatzeko arintasuna lantzeko.
Prozesuak denbora eskatzen duen arren, estrategia bakoitza eraikitzen ikasturte bat pasatzen dugu, gutxi gorabehera. Adibidez, LH 4an amaitzen dugu laukizuzen eredua guztiz finkatzen, baina hurrengo mailetan gero eta zenbaki konplexuagoak erabiliko ditugu eragiketetan.
Bestalde, eragiketetan gero eta zenbaki konplexuagoak erabiltzen ditugu. Zenbaki-tartea handitzen doan heinean (10-20, 0-20 edo 0-50), manipulatzeko materiala berreskuratzen da berriz, beste abstrakzio-ziklo bat egiteko eta pixkanaka-pixkanaka adierazpen abstraktuagoetara igarotzeko.
Azken finean, helburua oinarri sendo bat eraikitzea da, ikasleek prozesu matematiko abstraktuagoak eta eraginkorragoak ikasteko bidean aurrera egin dezaten eta edozein egoeratara egokitzeko aukera emango dien ezagutza eraiki dezaten. Orain, eraikitakoa automatizatu eta finkatu behar dugu. Baina hori aurrerago ikusiko dugu.
Erreferentzia bibliografikoak:
Bay-Williams, J., y Kling, G. (2019). Math fact fluency: 60+ Games Assessment Tools to Support Learning and Retention. ASCD.
Bay-Williams, J. M., & SanGiovanni, J. J. (2021). Figuring out fluency: Mathematics teaching and learning, grades K-8: Moving beyond basic facts and memorization (1a ed.). Corwin.
Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Cambridge: Harvard University Press.
Calvo, C., y Barba, D. (2005). 3×6.mat, Cuadernos de estrategias de cálculo. Barcelona.
Carpenter, T. P., et al. (1999). Las matemáticas que hacen los niños: la enseñanza de las matemáticas desde un enfoque cognitivo.
Traducción de Castro Hernández, C., y Alonso, M. L.
Hmelo‐Silver, C. E., Duncan, R. G., y Chinn, C. A. (2007). Scaffolding achievement in problem-based and inquiry learning: A response to Kirschner, Sweller, and Clark (2006). Educational Psychologist, 42, 99- 107. https://doi.org/10.1080/00461520701263368
Tall, D. (1993) Success and failure in mathematics: the flexible meaning of symbols as process and concept. Mathematics Teaching, (Vol. 14, pp. 6-10). ISSN 0025-5785.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2008). Children learn mathematics: Learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Dutch design in mathematics education, V: 1. Utrecht: Freudenthal Institute, Sense Publishers.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2002), Realistic mathematics education as work in progress, en: FOU-LAI LIN (eds.), Common sense in Mathematics. https://www.fisme.science.uu.nl/publicaties/literatuur/4966.pdf
