España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
Artikulu honetan, batuketan eta batuketaren gako eta estrategietan sakonduko dugu, kontzeptua sakonago ulertzeko eta kalkulu zehatza edo zenbatespen bat egiterakoan arintasuna irabazteko.
Deskargatu liburu elektronikoa
Ezagutu baliabide hau, oinarrizko eragiketetan gehien erabiltzen diren estrategiak modu bisualean laburbiltzen dituena.
Eduki taula
Zer esan nahi du batzen jakiteak?
Batuketa eta kenketa (elkarren aurkako eragiketak) Lehen Hezkuntzan ikasten diren lehen oinarrizko eragiketak dira.
Eguneroko hamaika egoeretan sortzen zaigu batuketa egiteko beharra: objektuak zenbatzean, azokan erosketa ordaintzean, jokoetan puntuak kontatzean…
Baina algoritmo jakin bat aplikatzen trebea izateak ez du esan nahi batzen dakigunik. “Matematika egitea” hori baino askoz gehiago da. Matematika egitea, besteak beste, edukiak sakon ulertzea da, problemak ebaztea, loturak egitea, arrazoitzea eta hainbat motatako adierazpenak erabiliz komunikatzea.
Batzen jakiteak esan nahi du emaitza zuzenera eraginkortasunez iristen dakigula (arin eta zehatz), ulertzen dugula zer ari garen egiten eta ondo egiten ditugula estrategia bakoitzeko urratsak.
Baina nola iritsiko gara horraino? Zer estrategia aurkeztuko ditugu? Zer material erabiliko dugu estrategia bakoitzean? Noiz utzi behar diogu materiala erabiltzeari?
Batuketa iceberg bat bezalakoa da: gainazalean ikusten duguna konplexutasun osoaren zati txiki bat baino ez da. Artikuluan eta batuketaren erraietan dagoen didaktikan murgiltzera animatzen zaitugu.
Zer da batuketa bat?
Poltsa batean 48 gozoki badauzkagu eta beste 28 gozoki sartzen baditugu, zenbat gozoki edukiko ditugu guztira?
Egoera hori testuinguruan kokatutako egoera baten adibidea da, eta batuketaren kontzeptuetako bakarra erakusten du: hasierako kantitate bati elementu berriak gehitzea.
Batzea, ordea, bi elementu multzo edo gehiago elkartzea ere bada. Adibidez, 28 kubo baditugu eta beste 48 gehitzen baditugu, zenbat kubo edukiko ditugu guztira?
Batuketa nola ebatzi: konkretutik abstraktura
Ez dago batuketak ebazteko modu bakarra. Guztiok ikasi dugun algoritmo estandarra kenketak egiteko estrategietako bat da. Eragiketa bat arin kalkulatzeak esan nahi du eragiketa ebazteko hainbat modu ezagutzen ditugula, eta egokiena aukeratzen dakigula testuingurua eta ageri diren zenbakiak kontuan hartuta.
Malgutasun hori bermatzeko, ikasgelan estrategia ugari eraikitzen ditugu. Ikasleek estrategiok ondo ulertzea ezinbestekoa da, eta askotan praktikatzen ditugu, eraginkorrak izaten ikasteko.
Malgutasun hori bermatzeko, ikasgelan estrategia ugari eraikitzen ditugu. Ikasleek estrategiok ondo ulertzea ezinbestekoa da; horregatik, askotan praktikatzen ditugu, ikasleak gero eta eraginkorragoak izan daitezen pixkanaka.
Hauek dira kenketa egiteko erabiltzen ditugun estrategia nagusiak:
- Zenbakien lerroan saltoak egitea
- Deskonposatuz kentzea
Estrategia bakoitzak KAA ereduan (konkretua, adierazgarria, abstraktua) oinarritutako ikaskuntza-sekuentzia bati jarraitzen dio, estrategia menderatzen eta ulertzen dela ziurtatzeko. Hiru une nagusi daude:
- Abiapuntua hainbat material erabiliz manipulatzea izango da (Konkretua).
- Manipulazio bidez egiten genuena paperean adieraziko dugu (Adierazgarria).
- Adierazpen abstraktuetara igaroko gara, algoritmoetara (abstraktua) adibidez.
Zenbakien lerroan saltoak egiteko estrategia
LHko 1. mailan, batuketak eta kenketak egiteko erabiliko dugun lehen estrategia aurkeztuko dugu: zenbakien lerroan saltoak egiteko estrategia.
Zenbakien lerroa tresna baliotsu eta bisuala da, eta nahi beste zabal dezakegu: edozein zenbaki-tarte irudika dezakegu, eta, etorkizunean, zenbaki osoak, arrazionalak eta irrazionalak lantzeko balioko digu.
Gainera, estrategia horrek buruzko kalkulua lantzen lagunduko digu. Eragiketa errazak eraginkortasunez ebatziko ditugu, eta ez ditugu gehiago zenbatzeko hatzak erabiliko.
Saltoen estrategiaren ibilbide didaktikoa
Boladun lepokoa erabiltzen hastean, normala da ikasleek bolak banaka kontatzea. Halere, estrategia eraginkorragoak sustatu behar ditugu arinago zenbatu nahi badugu, hala nola kolorez aldatzea (5 edo 10 zenbakitik behin).
Ikasleek boladun lepokoa erabiliz batuketa batzuk ondo egiten dituztenean (haur bakoitzaren erritmoaren araberakoa izango da hori), abstrakziora lehen urratsa ematen lagundu behar diegu: manipulazio bidez egiten ari zirena paper batean irudikatuko dute.
Ikasleek saltoak menderatu ahala (bai manipulazio bidez, bai paperean), boladun lepokoan zenbaki-tartea handituko dugu: lehenengo 10 bolako lepokoarekin egingo dute lan, ondoren 20 bolako lepokoarekin, eta, azkenik, 50 bolakoarekin.
Adierazpenak trinkotzen jarraitzeko eta ikasleak konfort-zonatik ateratzeko, aipatutako adierazpen ereduekin batuketa batzuk egingo ditugu, eta bi koloreko zenbakien lerrora igaroko gara. Hau da, adierazpenean koloreak eta markak bereizita edukiko ditugu, baina ez dira zenbaki zehatzak agertuko.
Pixkanaka, atzean utziko ditugu koloreak eta markak, zenbakien lerro hutsera iritsi arte.
Ikasleek hainbat modutan praktikatuko dituzte saltoak, eta pixkanaka estrategia menderatzen eta optimizatzen joango dira.
Adibidez, 48 + 28 batuketa bi modutara ebatz daiteke:
Pero, ¡seguro que hay otras maneras!
Eta ziur beste modu batzuk ere badaudela!
Baina abentura ez da hor amaitzen. Azkenean, ikasleek batuketa ondo barneratuko dute eta ez dute paperezko adierazpenik beharko, eragiketa buruz ebazteko gai izango direlako.
Batuketa deskonposatuz egiteko estrategia
LHko 2. mailan, batuketak ebazteko beste modu bat aurkezten dugu: deskonposaketa-estrategia.
Estrategia hori menderatzeko, funtsezkoa da lehenik eta behin ondo ulertzea eragiketa batean parte hartzen duten zenbakien zifra bakoitzak kopuru jakin bat adierazten duela matematikan.
Adibidez, 48 zenbakia 4 hamarrekok (40 bateko) eta 8 batekok osatzen dute. Horregatik, sistema hamartar posizionala sakon lantzen dugu eta hainbat material erabiltzen ditugu saioetan, besteak beste, abakoa lehen etapetan, eta 10 oinarriko blokeak aurrerago.
Deskonposatuz batzeko estrategiaren ibilbide didaktikoa
Deskonposaketa-estrategia lantzen hasi aurretik, lehendabizi manipulatzeko materiala erabiliko dugu batuketak egiteko. Kasu honetan, 10 oinarriko blokeak erabiliko ditugu.
Materiala erabiltzean, haurrek errazago ikusten eta ulertzen dute zer ari diren egiten batuketan: elementuak elkartzen ari dira. Batuketa batekin hasiko gara, adibidez, 26 + 12. Hasteko, 26 zenbakia 2 hamarreko eta 6 batekotan deskonposatuko dugu, eta 12 zenbakia, berriz, 1 hamarreko eta 2 batekotan. Hamarrekoak hamarrekoekin eta batekoak batekoekin elkartzen baditugu, emaitza 38 dela ikusiko dugu (3 hamarreko eta 8 bateko).
Manipulazioko etapan batuketa zailxeagoak planteatuko ditugu, bururakoa dutenak.
Adibidez, 48 + 28 ebazteko, 48 zenbakia 4 hamarreko eta 8 bateko gisa adieraztera animatzen ditugu ikasleak, eta 28 zenbakia, berriz, 2 hamarreko eta 8 bateko gisa. Hamarrekoekin hasiko gara: 40 + 20 = 60. Ondoren, nahiz eta ordena garrantzitsua ez izan, batekoak multzokatuko ditugu: 8 + 8.
Manipulatzeko materialari esker, ikasleek 10 kubo elkartzean hamarreko bat osatzen dela ikusten dute. Beraz, batuketa 8 + 8 gisa adierazi beharrean, 10 + 6 gisa berridatz dezakete (10 kuboko barra bat eta beste 6 kubo).
60 + 16 = 76 batuketa lortuko dugu.
Prozesu horrek ikasleei urrats bakoitza nondik datorren ulertzen laguntzen die, eta gauzak ez direla gertatzeagatik gertatzen ikusten dute. Dena den, prozesua oso gardena izan arren, motela da, eta ez da eraginkorra.
Horregatik, ikasleek estrategia horrekin batuketa batzuk zuzen ebazten dituztenean (haur bakoitzaren erritmoaren araberakoa izango da hori), abstrakziora lehen urratsa ematen lagundu behar diegu: manipulazio bidez egiten ari zirena paperean irudikatuko dute. Adibidez, batuketak ebaztean, 10 oinarriko blokeak marraztu ditzakete gurutze eta marrekin, laguntza bisuala edukitzeko aurrean.
Laguntzarekin batuketa batzuk ebatzi ondoren, konfort-zonatik atera behar ditugu, eta adierazpen zehatzak gero eta gutxiago erabiltzera bultzatu. Pixkanaka-pixkanaka, laguntzak kentzen joango gara, batuketaren algoritmo estandarraren adierazpenera iritsi arte.
Zifra bakarreko batuketen automatizazioa
Askotan, ezagutzak ondo ulertu eta barneratzean oinarritzen den ikaskuntzaz hitz egiten dugunean, badirudi erantzunaren abiadura erabat deabrutzen dugula. Hala eta guztiz ere, hainbat edukik ikasleen ezagutza automatikoaren parte izan beharko lukete.
Esaterako, ikasleek automatizatuta eduki beharko lituzkete zifra bakarreko batuketak: Horrek esan nahi du, batuketa errazak egitean, hala nola 7 + 3 = 10, 8 + 5 = 13, 9 + 6 = 15 eta abar, gai direla emaitzez azkar oroitzeko.
Ikasleek ez badakite azkar erantzuten eta ez badute emaitzak ondorioztatzeko estrategia eraginkorrik, esfortzu gehiegi egin beharko dute oinarrizko kalkuluak egiteko, eta horrek murriztu egiten du alderdi aurreratuagoetan edo konplexuagoetan kontzentratzeko gaitasuna.
Oso erabilgarria da azkar erantzun ahal izatea. Baliteke ikasleek emaitzak buruz jakitea edo beste emaitza batzuetan oinarrituz arin ondorioztatzea, ahalegin handirik egin gabe.
Gertaera ezagunetatik emaitzak ondorioztatzea: matematikarien moduan pentsatzeko giltza
Estrategiak eraikitzeaz gain, ikasleek matematikarako funtsezko trebetasunak praktikatu eta garatu behar dituzte ikasgelan, hala nola ezagutzen dituzten gertaeretatik abiatuta emaitzak ondorioztatzea. Matematika, definizioz, dedukzioetan oinarritzen den zientzia da.
Dedukzioak egitean, arrazoitzeko gaitasuna sustatzeaz gain, funtsezko beste gaitasun batzuk ere sustatzen dira, hala nola loturak ezartzea, aieruak egitea eta benetako matematikari gisa pentsatzea.
Batuketaren kasuan, trebetasun hori eragiketak sinplifikatzeko gaitasunean ikusten da. Adibidez, gertaera ezagunen eta ondorioztatutako gertaeren dinamika ongi menderatzen duen ikasle batek 48 + 28 eta 50 + 30 baliokideak direla ondoriozta dezake, eta gero emaitzari 4 kendu.
Bururakoak zituen batuketa bat egin beharrean beste batuketa errazago bat egin du. Horrek esan nahi du ikaslea malguagoa eta eraginkorragoa dela kalkuluak egiterakoan. Kalkulua sinplifikatu du eragiketak erosoago egiteko, eta egindako aldaketa konpentsatzen jakin du emaitza zuzenera iristeko.
Ikasleek segituan ikusten dute estrategia hori oso erabilgarria dela kalkuluak azkar ebazteko. Horregatik, une desberdinetan praktikatu behar dute, segurtasuna eta arintasuna irabazteko.
Zenbatespenak egitearen garrantzia
Azkenik, iritzirako kalkulua edo zenbatespenak ere landu behar dira. Bai, kalkuluek zehatzak eta zuzenak izan behar dute. Baina zenbatespenak egiterakoan ezinbestekoa da malguak izatea.
Eragiketa bat ebatzi aurretik zenbatespenak ondo egiten badituzte, errazago aukeratuko dute zein den egoera horretan eta zenbaki horiekin erabiltzeko estrategiarik egokiena. Izan ere, eragiketak papera eta arkatza erabiliz edo buruz egin behar dituzten izan behar dute kontuan, baita zenbakiak elkarrengandik urrun ala gertu dauden ere.
Gainera, ondo zenbatetsi badute, lortutako emaitza zuzena ala okerra den ikusten lagunduko die.
Estrategiak erabiltzeko, arintasuna eta irizpidea
Eragiketak ebazterakoan arinak izateko, ebazten hasteko dauden moduak ezagutu behar dira.
Horregatik, ikasgelan elkarrekin bizi dira eraiki ditugun estrategia guztiak. Ikasleek estrategiak ulertzea garrantzitsua da, baina oso garrantzitsua da baita ere testuingurua eta eragiketetako zenbakiak kontuan izanda estrategietako zein erabiliko duten erabakitzen jakitea.
Helburu hori lortzeko, estrategia bakoitzari bere denbora eskaintzen diogu, ondo ulertzen eta barneratzen dutela ziurtatzeko. Hala ere, teoria ez da nahikoa: praktikatzea ezinbestekoa da. Horregatik, hainbat motatako espazioak eta jarduerak proposatzen dira, kalkulatzeko arintasuna lantzeko.
Prozesuak denbora eskatzen duen arren, estrategia bakoitza eraikitzen ikasturte bat pasatzen dugu, gutxi gorabehera. Esaterako, boladun lepokotik zenbakien lerro hutserako saltoa lehen hezkuntzako lehen mailan zehar egiten dugu, eta ikasleek 2. mailan badakite zenbakien lerro hutsean eragiketak saltoka ebazten.
Bestalde, eragiketetan gero eta zenbaki konplexuagoak erabiltzen ditugu. Zenbaki-tartea handitzen doan heinean (10-20, 0-20 edo 0-50), manipulatzeko materiala berreskuratzen da berriz, beste abstrakzio-ziklo bat egiteko eta pixkanaka-pixkanaka adierazpen abstraktuagoetara igarotzeko.
Azken finean, helburua oinarri sendo bat eraikitzea da, ikasleek prozesu matematiko abstraktuagoak eta eraginkorragoak ikasteko bidean aurrera egin dezaten eta edozein egoeratara egokitzeko aukera emango dien ezagutza eraiki dezaten. Orain, eraikitakoa automatizatu eta finkatu behar dugu. Baina hori aurrerago ikusiko dugu.
Erreferentzia bibliografikoak:
Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Cambridge: Harvard University Press.
Carpenter, T. P., et al. (1999). Las matemáticas que hacen los niños: la enseñanza de las matemáticas desde un enfoque cognitivo.
Traducción de Castro Hernández, C., y Alonso, M. L.
Hmelo‐Silver, C. E., Duncan, R. G., y Chinn, C. A. (2007). Scaffolding achievement in problem-based and inquiry learning: A response to Kirschner, Sweller, and Clark (2006). Educational Psychologist, 42, 99- 107. https://doi.org/10.1080/00461520701263368
Tall, D. (1993) Success and failure in mathematics: the flexible meaning of symbols as process and concept. Mathematics Teaching, (Vol. 14, pp. 6-10). ISSN 0025-5785.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2008). Children learn mathematics: Learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Dutch design in mathematics education, V: 1. Utrecht: Freudenthal Institute, Sense Publishers.
Calvo, C., y Barba, D. (2005). 3×6.mat, Cuadernos de estrategias de cálculo. Barcelona.
Plunkett, S. (1979). Decomposition and all that rot. Mathematics in School, 8(3), 2-5.
Purpura, D. J., Baroody, A. J., Eiland, M. D., y Reid, E. (2016). Fostering first graders’ reasoning strategies with basic sums: The value of guided instruction. Elementary School Journal, 117(1), 72–100. https://doi.org/10.1086/687809
Schneider, M., Merz, S., Stricker, J., De Smedt, B., Torbeyns, J., Verschaffel, L., y Luwel, K. (2018). Associations of number line estimation with mathematical competence: A meta-analysis. Child Development, 89, 1467-1484. https://doi.org/10.1111/cdev.13068
