España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
La zona de fluïdesa a Atles Matemàtic: com aprendre les taules de multiplicar amb sentit
Avui us vull parlar d’una part d’Atles Matemàtic que m’encanta i que toca un tema crucial: les taules de multiplicar! 🔢
Després de construir-les a classe i practicar-les en paper durant la setmana (unes 4 hores en total), arriba el moment de consolidar el que s’ha après. I aquí entra l’Atles Matemàtic: una sessió a la setmana, dedicada a la pràctica sistemàtica i individualitzada.
Un apartat d’Atles Matemàtic és la zona de fluïdesa, un espai que ajuda a memoritzar les taules seguint principis de la psicologia cognitiva de la memòria: evocar, espaiar i intercalar.
Us ho explico en aquest article!
Per què cal aprendre les taules de multiplicar de memòria?
Saber-se les taules de multiplicar de memòria és imprescindible per a un aprenentatge significatiu en conceptes posteriors. Però, per què?
Quan l’alumnat s’enfronta a problemes més complexos, per exemple amb diverses operacions o diversos passos, necessita reservar la memòria de treball per als passos més importants. Si han de calcular cada producte bàsic una vegada i una altra, la sobrecàrrega cognitiva és enorme (National Mathematics Advisory Panel, 2008; Sweller, Ayres & Kalyuga, 2011).
Evocar: portar el coneixement a la memòria
El primer principi clau és evocar.
Evocar significa portar conscientment a la memòria de treball un coneixement que és a la memòria a llarg termini. Quan un infant recupera “3×7” i diu “21”, està evocant.
I alerta: evocar és una de les maneres més potents d’aprendre. Molt més que rellegir o repetir mecànicament (Karpicke & Roediger, 2008). Cada vegada que evoquem, reforcem aquesta empremta a la memòria. Us recomano la lectura d’aquest fil de l’Héctor Ruiz.
Per això, a la Zona de Fluïdesa, l’alumnat no només practica: recupera activament el que s’ha après.
Comprensió profunda i fluïdesa: aprenentatge amb sentit
El fet que els alumnes memoritzin les taules allibera espai mental i els dona fluïdesa. Ara bé: memoritzar no vol dir repetir sense sentit. Es tracta de connectar. Per exemple, “6×4” pot venir del doble de “6×2” o del doble de “3×4” (Baroody, Bajwa & Eiland, 2009). Com més connexions, més fàcil recordar-les.
Per crear aquestes connexions fem servir diversos models:
- Model de grups (punts): ajuda a visualitzar la suma iterada (Clark & Paivio, 1991). 👇
- Model rectangular (array): ajuda a visualitzar la multiplicació amb la seva representació geomètrica. Descomponem, per exemple, 7×4 en 7×2 + 7×2 o recolzem 9×4 en el fet conegut 10×4. Així entenen l’estructura de la multiplicació i no només la resposta.👇
- Model de salts (jumping): fem servir la recta numèrica per representar salts de mida fixa (suma iterada). 👇
Cada taula apareix en diversos models, de manera que l’alumnat pot passar d’una representació a una altra i lligar caps. Aquesta varietat ajuda a fixar les taules amb sentit (Clark & Paivio, 1991).
Per a més informació sobre la fluïdesa en operacions bàsiques, us recomano aquest article de la Cecilia Calvo i la Laura Morera sobre la construcció de les operacions bàsiques.
Espaiar: aprendre és una carrera contra l’oblit
El segon principi és espaiar.
Si practiquem alguna cosa avui i la revisitem demà, molt probablement la recordarem. Però si deixem passar una mica més de temps, l’esforç d’evocar-la serà més gran… Deixar passar cada cop més temps entre una evocació i la següent fa que l’aprenentatge duri més. De nou, en l’Héctor Ruiz ho explica de forma molt clara en aquest fil.
Aquí entra en joc la famosa corba de l’oblit d’Ebbinghaus (1885/1913). Hermann Ebbinghaus va ser pioner a estudiar experimentalment la memòria. Va descobrir que:
- Després d’aprendre alguna cosa, l’oblidem ràpidament en les primeres hores/dies.
- La pèrdua s’alenteix després, però mai s’atura del tot.
- La pràctica d’evocació en moments estratègics pot “aplanar” aquesta corba, reforçant el record i fent-lo més durador.
Això va assentar les bases del que avui coneixem com a repetició espaiada (spaced repetition).
Més d’un segle després, Vlach, Sandhofer & Kornell (2008) van aplicar aquest principi a contextos infantils i d’aprenentatge conceptual. La seva troballa clau va ser:
- L’efecte d’espaiament també millora la memòria en infants, no només en adults.
Quan els aprenentatges es revisiten en el temps (en lloc de concentrar-los en bloc), els infants no només recorden millor, sinó que a més generalitzen millor el que s’ha après a noves categories.
A la zona de fluïdesa, el nostre algoritme estima, per a cada producte, quan és més probable que s’oblidi i el torna a plantejar just a temps. És la idea dels SRS (sistemes de repetició espaiada), optimitzats en la literatura recent (Tabibian et al., 2019; Woźniak, 1990).
Intercalar: alternar per aprendre millor
El tercer principi és intercalar.
No es tracta de practicar tota la taula del 2 i després passar a la del 3, sinó d’alternar productes de diferents taules i, en alguns casos, fins i tot combinar operacions properes (per exemple, problemes de suma juntament amb problemes de multiplicació). Per què? Perquè aquesta barreja obliga l’alumnat a detectar quin tipus d’operació té al davant i a triar l’estratègia adequada abans de respondre. Aquest procés de discriminació és el que fa que la pràctica intercalada sigui més potent que la pràctica en bloc (Rohrer, Dedrick & Stershic, 2015; Rohrer et al., 2020).
Els estudis mostren que, quan l’alumnat practica amb problemes intercalats en lloc de seqüències homogènies, recorda més a llarg termini i a més millora la capacitat de transferir el que s’ha après a noves situacions (Rohrer & Taylor, 2007/2010; Brunmair & Richter, 2019). Fins i tot en tasques properes, com decidir entre sumar o multiplicar, la intercalació ajuda els infants a discernir millor quina operació aplicar (Ziegler & Stern, 2014, 2016).
A la zona de fluïdesa de l’Atles Matemàtic, les activitats no presenten productes en blocs uniformes, sinó que es van intercalant diferents taules. Així, cada exercici suposa un petit repte de selecció: l’alumne ha de pensar primer quin fet recuperar i com relacionar-lo amb d’altres ja coneguts. Aquest esforç extra consolida l’aprenentatge, fomenta el sentit numèric i condueix a una fluïdesa més sòlida i duradora (Németh et al., 2019).
Per als docents i per a l’alumnat
Els docents tenen a la seva disposició informes clars que mostren quines taules domina cada alumne, quines estan en procés i quines necessiten reforç. Això els permet prendre decisions ràpides, basades en dades, per ajudar cada alumne en allò que realment necessita.
A més, el projecte inclou locucions (doble codificació: visual + àudio = més connexions = més aprenentatges) i un espai de progrés perquè l’alumnat sigui conscient dels seus avenços.
Conclusió
La zona de fluïdesa a l’Atles Matemàtic és una eina per ajudar els docents a treballar les taules de multiplicar.
Amb comprensió, amb memòria, amb ganes d’aprendre. I, el més important, amb base científica. 🚀
Gràcies per llegir fins aquí! Si voleu veure la zona de fluïdesa en acció o teniu dubtes, no dubteu a escriure’m!
Referències bibliogràfiques
Baroody, A. J., Bajwa, N. P., & Eiland, M. (2009). Why Can’t Johnny Remember the Basic Facts? Developmental Disabilities Research Reviews, 15(1), 69–79.
Brunmair, M., & Richter, T. (2019). Similarity matters: A meta-analysis of interleaved learning and its moderators. Psychological Bulletin, 145(11), 1029–1052.
Cepeda, N. J., et al. (2008). Spacing Effects in Learning: A Temporal Ridgeline of Optimal Retention. Psychological Science, 19(11), 1095–1102.
Clark, J. M., & Paivio, A. (1991). Dual Coding Theory and Education. Educational Psychology Review, 3(3), 149–210.
Ebbinghaus, H. (1885/1913). Memory: A Contribution to Experimental Psychology.
Karpicke, J. D., & Roediger, H. L. (2008). The Critical Importance of Retrieval for Learning. Science, 319(5865), 966–968.
National Mathematics Advisory Panel. (2008). Foundations for Success: The Final Report. U.S. Department of Education.
Németh, L., Korbmacher, J., Star, J. R., Kammerer, Y., & Salden, R. (2019). Interleaved learning in elementary school mathematics: Effects on the flexible and adaptive use of subtraction strategies. Frontiers in Psychology, 10, 86.
Rohrer, D., & Taylor, K. (2007/2010). Interleaved Practice Improves Mathematics Learning. Journal of Educational Psychology.
Rohrer, D., Dedrick, R. F., & Stershic, S. (2015). Interleaved practice improves mathematics learning. Journal of Educational Psychology, 107(3), 900–908.
Rohrer, D., Dedrick, R. F., Hartwig, M. K., & Cheung, C.-N. (2020). A randomized controlled trial of interleaved mathematics practice. Journal of Educational Psychology, 112(1), 40–52.
Sweller, J., Ayres, P., & Kalyuga, S. (2011). Cognitive Load Theory. Springer.
Tabibian, B., et al. (2019). Enhancing human learning via spaced repetition optimization. PNAS, 116(10), 3988–3993.
Vlach, H. A., Sandhofer, C. M., & Kornell, N. (2008). The spacing effect in children’s memory and category induction. Cognition, 109, 163–167.
Wozniak, P. A. (1990). Optimization of learning: A new approach and computer application [Master’s thesis, University of Technology in Poznan]
Ziegler, E., & Stern, E. (2014). Delayed benefits of learning elementary algebraic transformations through contrasted comparisons. Learning and Instruction, 33, 131–146.
Ziegler, E., & Stern, E. (2016). Consistent advantages of contrasted comparisons: Algebra learning under direct instruction. Learning and Instruction, 41, 41–51.
