España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
Entra a les aules!
Quants triangles pots fer amb aquests quatre segments?
Prova-ho: juga amb els segments, combina’ls, gira’ls, observa i descobreix quants triangles ets capaç de construir.
Hi ha alguna combinació de tres colors que no hagis pogut fer?
Espai reservat per pensar…
No has aconseguit fer triangles de tots els colors possibles, oi que no? Per què creus que passa?
És que per construir un triangle, la suma de les longituds dels dos costats més curts ha de superar la del costat més llarg. Si no, no hi ha triangle possible: els tres segments no triangulen.
T’ho havies plantejat mai? Enhorabona: acabes de descobrir el Teorema de la desigualtat triangular 😊
Mira com ho fan els infants:
A I3, infants de tres anys ja exploren, manipulen i s’adonen que la longitud dels segments condiciona la forma del triangle. Potser no saben posar-hi nom, però sí que veuen manipulativament que
Després de les primeres passes segueix un recorregut que s’estén al llarg de tota l’escolaritat: la construcció del significat de triangle.
A partir d’aquí, tot s’hi va entrellaçant: la desigualtat triangular a primària, els angles, les àrees, i fins i tot el teorema de Pitàgores. Cada nova descoberta s’ancora en les anteriors i obre la porta a nous aprenentatges.
Vegem-ho en acció: entrem a les aules!
Acompanya’ns a descobrir des d’un pany com es construeix la trajectòria dels triangles a les aules de matemàtiques.
On tot comença: a una aula d’infantil
Cadires ben menudes, una catifa de colors i infants asseguts a terra. Som en una classe de de Kinder (5 anys) a Mariemont, San Juan Unified School District, a Califòrnia. L’objectiu de la sessió d’avui és descobrir els triangles. Com es treballa un concepte tan abstracte amb infants tan petits?
Els vídeos estan esperant-te 🎥 Accepta les cookies i activa els subtítols per gaudir de tot el contingut!
Fixem-nos-hi: la sessió arrenca amb una història que dona sentit al nou aprenentatge. Aquesta narrativa crea un context significatiu i convida els infants a implicar-s’hi, proposant-los un repte que els motiva a construir el coneixement de manera activa.
Després del conte, és el moment de l’exploració lliure. A través dels mateixos segments que els alumnes han vist a la història, en petits grups construeixen figures. No hi ha instruccions rígides, sinó que és un moment d’exploració lliure i guiada. Proven de combinar els segments, creant figures obertes, tancades, quadrilàters i, per descomptat, triangles.
Aquesta manipulació és essencial: els permet interioritzar les propietats de les figures d’una manera física, molt abans de poder verbalitzar-les.
Mentre tot això passa, la mestra circula i gestiona l’activitat. Llança preguntes per evocar el coneixement: “Què heu construït?”, “Quants costats té?”, “Aquests tres segments poden formar un triangle? Per què no?”.
És en aquest moment quan, de manera orgànica, apareix la llavor de la desigualtat triangular. Un grup de nens intenta unir un segment llarg amb dos de curts. Després d’intentar-ho unes quantes vegades, arriben a la conclusió que els segments “no arriben”. La mestra, en lloc de respondre directament, pregunta: “I si proveu de canviar el segment llarg per un de més curt? Què passa ara?”.
A través d’aquesta conversa, els mateixos infants s’adonen que no totes les combinacions de tres segments formen triangles. No li posen nom al teorema, però ja s’han topat amb la desigualtat triangular.
De la llavor al Teorema: la desigualtat triangular a primària
Fem un salt endavant. Si a infantil se sembren les llavors, a primària es rega amb riquesa matemàtica. Entrem a una classe de 5è (10 anys). L’objectiu d’aquesta sessió és classificar els triangles segons les seves propietats.
Els vídeos estan esperant-te 🎥 Accepta les cookies i gaudeix de tot el contingut!
La sessió comença amb una conversa conjunta per recordar formalment què és un polígon. Els alumnes van aportant propietats: “És una figura que no és rodona”, “té costats rectes”, “és una figura plana”, “té vèrtexs”. Entre tots, construeixen una definició robusta, mentre la mestra els ajuda a precisar el que diuen perquè utilitzin el vocabulari matemàtic correctament.
Un cop defineixen què és un polígon, és moment de veure quins tipus de polígons poden construir. I aquí, fixeu-vos com utilitzen el mateix material que a Infantil: els segments. L’exploració és similar, però ara l’objectiu no és només veure “què passa”, sinó entendre “per què passa”.
I aquí sorgeixen grans descobertes:
- La rigidesa: Els alumnes s’adonen que els polígons de més de tres costats són deformables, mentre que el triangle és rígid. Aquesta observació ja no és una simple anècdota; intenten verbalitzar-la dient que en un quadrilàter “els costats oposats no es toquen per cap vèrtex”, cosa que permet el moviment, mentre que en el triangle “tots toquen amb tots”.
Ara ens centrarem en formar triangles, donats 4 segments diferents. En aquesta exploració, com a docents és important animar els alumnes a ser sistemàtics i fer servir estratègies per trobar totes les possibles solucions.
- La desigualtat triangular: La pregunta “sempre es pot fer un triangle?” torna a aparèixer. Però la resposta ara és més analítica. Fins i tot una alumna utilitza la mesura real dels segments per ser més precisa amb la seva resposta. I no, no sempre la unió de tres segments pot crear un triangle. Els alumnes verbalitzen la condició en general: “la suma dels dos costats més curts ha de ser més gran que el costat llarg”. I així, és com acaben formulant el Teorema de la desigualtat triangular amb les seves paraules i la mestra només cal que li posi nom.
Finalment, amb totes aquestes propietats sobre la taula, arriba el moment de classificar. La mestra els demana que ordenin els triangles que han construït. En què es poden fixar? La resposta surt d’ells mateixos: en la longitud dels costats i en els angles. Així, comencen a classificar-los en equilàters, isòsceles i escalens, i en acutangles, rectangles i obtusangles.
El salt a l’abstracció: la desigualtat triangular a secundària
Si a Infantil es planta la llavor i a Primària es rega amb riquesa matemàtica, a Secundària és el moment de recollir aquest coneixement. Ara, els alumnes posen a prova el que saben, formulen conjectures, les comproven i hi reflexionen.
En aquesta sessió de 2n de Secundària, l’objectiu és explorar totes les possibilitats de triangles amb costats enters i perímetre fixat. I se’ls planteja construir triangles amb escuradents.
Primer, els alumnes observen dues figures i comparteixen què hi veuen d’igual i de diferent. Què hi veieu vosaltres?
Algunes de les idees que acostumen a veure els alumnes són: “Tenen el mateix perímetre”, “Són isòsceles”, “El de l’esquerra sembla rectangle…”, i aprofitem per comprovar-ho.
I creieu que hi hauria més triangles amb el mateix nombre d’escuradents? I quants en podríeu fer de perímetre 10?
Aquesta pregunta obre la porta a la investigació. Es proposa els alumnes construir triangles amb materials senzills, com escuradents, per mesurar-los i contrastar les seves conjectures. En aquest moment, han de recordar que cal ser sistemàtics per obtenir tots els possibles resultats.
Normalment fan una connexió amb la numeració, i es transformen el problema geomètric a un problema numèric, on el que busquen és equivalent a buscar descomposicions del nombre 10 en tres sumands.
Aquí només els més sistemàtics podran estar segurs de que no se n’han deixat cap:
{1, 1, 8}, {1, 2, 7}, {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {2, 2, 6}, {2, 3, 5}, {2, 4, 4}, {3, 3, 4}
I això és el que busquem perquè caiguin al parany (jijjiji), perquè llavors es pensen que hi ha 8 triangles diferents de perímetre 10 escuradents, però… aquí és on han de repescar la idea de la desigualtat triangular, i saben que algunes d’aquestes combinacions de segments, no formaran un triangle, per tant, han de tornar al context geomètric del problema per acabar trobant la solució!
