España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
En aquest article ens centrem en la suma i en les claus i estratègies per assolir-ne una comprensió profunda i fluïdesa en el càlcul exacte i estimatiu.
Descarrega el nou Ebook
Explora aquest recurs que sintetitza de manera visual algunes de les estratègies més utilitzades de les operacions bàsiques
Articles relacionats:
Taula de continguts
Què vol dir realment saber sumar?
La suma, juntament amb la resta —com a operació contrària—, és la primera operació bàsica que s’aprèn a primària.
Des de les primeres lliçons de matemàtiques fins al nostre dia a dia, la suma apareix en molts moments: comptar objectes a casa, pagar la compra al supermercat o seguir les puntuacions dels jocs.
Ara bé, no hem de confondre la destresa en l’execució d’un algoritme amb saber sumar. Fer matemàtiques és molt més que això. A més d’aconseguir una comprensió profunda dels continguts, fer matemàtiques també implica resoldre problemes, fer connexions, raonar i comunicar utilitzant diferents representacions.
Saber sumar significa arribar al resultat correcte de manera eficient (amb fluïdesa i precisió), comprenent què estem fent i aplicant correctament els passos de cada estratègia.
Però, com arribem fins aquí? Quines estratègies presentem? Quin material utilitzem per a cadascuna? Quan hem de deixar de fer servir el material?
Com veus, la suma és com un iceberg: el que veiem a la superfície és només una petita part de la seva complexitat. Et convidem a submergir-te en aquest article i a explorar les profunditats didàctiques que hi ha darrere de l’aprenentatge de la suma.
Què és una suma?
Si tenim 48 caramels en una bossa i hi afegim 28 més, quants caramels tenim en total?
Aquest exemple de situació contextualitzada només ens mostra un dels conceptes de sumar: l’acció d’afegir nous elements a una quantitat inicial.
Però sumar també és unir dos o més grups d’elements. Per exemple, si unim un grup de 28 cubs amb un altre de 48, quants cubs tenim en total?
Com resolem una suma, del concret a l’abstracte?
El primer que hem de saber és que no hi ha una única manera de sumar. L’algoritme estàndard que tots hem après no és l’única opció. Tenir fluïdesa en una operació també implica conèixer diverses formes de resoldre-la i tenir criteri per triar la més adequada segons el context i els nombres implicats.
Per garantir aquesta flexibilitat a l’aula, construïm un ampli ventall d’estratègies posant el focus en la seva comprensió i practicant-les moltes vegades per aconseguir ser eficients.
Les principals estratègies que treballem per sumar són:
- Salts sobre la línia numèrica
- Suma per descomposició
Cadascuna segueix una seqüència d’aprenentatge basada en el model CRA (concret, representatiu, abstracte) per garantir-ne la comprensió. Passem per tres moments clau:
- Partim de la manipulació amb diferents materials (concret).
- Representem en paper el que fèiem de forma manipulativa (representatiu).
- Passem a les representacions abstractes, com els algoritmes (abstracte).
Estratègia de salts sobre la línia numèrica
La primera estratègia que presentem a 1r de primària per sumar i restar són els salts sobre la línia numèrica.
La línia numèrica és una eina molt valuosa i visual que es pot estendre fàcilment per treballar amb rangs tan grans com vulguem i introduir, en un futur, nombres enters, racionals i irracionals.
Aquesta estratègia ens ajuda a desenvolupar el càlcul mental, a resoldre operacions senzilles de manera eficient i a deixar enrere el comptatge amb els dits.
Trajectòria didàctica de l’estratègia de salts sobre la línia numèrica
El primer pas de la seqüència didàctica de l’estratègia de salts és practicar salts cap endavant i cap enrere amb el collaret de boles, per comprendre el sentit numèric.
A l’inici de conèixer aquesta estratègia, és normal que els alumnes comptin les boles d’una en una. Però aviat hem de fomentar l’ús d’estratègies més eficients per agilitzar el comptatge, com el canvi de colors (cada 5 o cada 10).
Un cop hagin resolt correctament algunes sumes amb el collaret de boles —depenent del ritme de cadascú—, hem de convidar-los a fer un primer pas cap a l’abstracció, representant sobre el paper allò que feien de forma manipulativa.
A mesura que adquireixen domini en els salts —tant manipulativament com en paper—, ampliem progressivament els rangs de les boles: primer treballen amb el collaret de 10 boles, després passen a 20 i finalment arriben fins a 50.
Per seguir compactant les representacions i treure’ls de la seva zona de confort, un cop hagin resolt correctament diverses sumes amb representacions concretes, els convidem a passar a la línia bicolor. És a dir, seguim diferenciant els colors i les marques en la representació, però sense mostrar els nombres concrets.
A poc a poc, eliminem colors i marques, fins que finalment arribem a la línia numèrica buida. En aquest article ho expliquem amb més detall.
Els alumnes practiquen els salts de moltes maneres diferents, cosa que els permet dominar i optimitzar aquesta estratègia.
Per exemple, la suma 48 + 28 es pot resoldre de dues maneres:
Però segur que hi ha altres maneres!
I això no s’acaba aquí. Arribarà un moment en què els alumnes ho tindran tan interioritzat que no necessitaran ni la representació sobre el paper, perquè seran capaços de resoldre la suma mentalment.
Estratègia de la suma per descomposició
A 2n de primària, introduïm una altra manera de resoldre sumes: l’estratègia de descomposició.
Per dominar aquesta estratègia, el primer que cal entendre és que en matemàtiques cada una de les xifres dels nombres que intervenen en una operació representa una quantitat específica. I això és fonamental.
Per exemple, el 48 és un nombre compost per 4 desenes (40 unitats) i 8 unitats. Per això treballem el sistema decimal posicional en profunditat, introduint diferents materials com l’àbac a les primeres etapes i, més endavant, els blocs base 10.
Trajectòria didàctica de l’estratègia de suma per descomposició
El primer pas per treballar l’estratègia de descomposició és sumar amb material manipulatiu. En aquest cas, utilitzant els blocs base 10.
A través d’aquest material, els nens observen fàcilment què estan fent quan sumen: unir elements. Per exemple, comencem amb una suma com 26 + 12. Primer, descomponen el 26 a 2 desenes i 6 unitats, i el 12 a 1 desena i 2 unitats. Si uneixen les unitats amb les unitats, veuen clarament que el resultat és 38 (3 desenes i 8 unitats).
Ara bé, hem d’aprofitar aquesta etapa de manipulació per plantejar sumes més desafiadores, que impliquin emportar-se’n una.
Per exemple, en la suma 48 + 28, primer animem els alumnes a representar el 48 com a 4 desenes i 8 unitats, i el 28 com a 2 desenes i 8 unitats. Començant per les desenes, resolem 40 + 20 = 60. Després, encara que l’ordre no sigui important, agrupem les unitats: 8 + 8.
Gràcies al material manipulatiu, els alumnes observen que en unir 10 cubs formen una desena. Per tant, en lloc d’expressar la suma com a 8 + 8, poden reescriure-la com a 10 + 6 (una barra de 10 cubs i 6 cubs restants).
La suma final que obtenim és 60 + 16 = 76.
És evident que aquest procés ajuda a entendre que les coses no passen perquè sí, i per tant permet comprendre l’origen de cada pas. No obstant això, tot i ser molt transparent, també resulta lent i poc eficient.
És per això que, un cop els alumnes hagin resolt correctament algunes sumes d’aquesta manera —al ritme de cadascú—, els hem de convidar a fer un primer pas cap a l’abstracció, representant en paper el que abans feien de manera manipulativa. Per exemple, mentre resolen sumes, poden dibuixar els blocs base 10 com a creus i línies, per tenir un suport visual.
Quan hagin resolt correctament diverses sumes d’aquesta manera, els hem de treure de la zona de confort, animant-los a reduir l’ús de representacions concretes. Així, de manera progressiva, anem retirant els suports fins a arribar a una representació de l’algoritme estàndard de la suma.
Automatització de sumes d’un sol dígit
Sovint, quan parlem d’un aprenentatge basat en la comprensió profunda, sembla que demonitzem completament la velocitat en la resposta. Tot i això, hi ha certs continguts que haurien de formar part del coneixement automàtic dels alumnes.
Un d’ells és l’automatització de sumes d’un sol dígit. Això significa evocar en un temps raonable els resultats de sumes senzilles com 7 + 3 = 10, 8 + 5 = 13, 9 + 6 = 15, etc.
El fet de no saber respondre ràpidament i, encara més, de no comptar amb estratègies eficients per deduir els resultats, fa que hagin de dedicar massa esforç a càlculs bàsics, cosa que redueix la seva capacitat de concentració en aspectes més avançats o complexos.
És molt útil poder respondre amb rapidesa, ja sigui perquè se saben els resultats de memòria o perquè els poden deduir ràpidament a partir d’uns quants resultats bàsics sense gaire esforç.
Deduir resultats a partir de fets coneguts: la clau per pensar com un matemàtic
Paral·lelament a la construcció de les estratègies, a l’aula els alumnes també han de practicar i desenvolupar habilitats clau per a les matemàtiques, com deduir resultats a partir de fets que ja coneixen. Les matemàtiques són, per definició, una ciència deductiva.
Això no només fomenta la seva capacitat de raonament, sinó que també enforteix altres competències essencials, com establir connexions, formular conjectures i pensar com a autèntics matemàtics.
En el cas de la suma, aquesta habilitat es reflecteix en la capacitat de simplificar operacions. Per exemple, un alumne competent en fets coneguts i derivats pot deduir que 48 + 28 és equivalent a 50 + 30, i després restar-ne 4 al resultat.
Aquesta capacitat de convertir una suma portant-ne en una de més senzilla demostra que ha aconseguit ser flexible i eficient. No només ha simplificat el càlcul per operar de manera més còmoda, sinó que també ha sabut compensar la modificació per obtenir el resultat correcte.
Els alumnes aviat descobreixen que aquesta estratègia és molt útil per resoldre càlculs més ràpidament. Per això han de practicar-la en diferents moments, per guanyar seguretat i fluïdesa.
La importància de fer estimacions
Finalment, no hem d’oblidar la importància del càlcul estimatiu. Sí, els nostres alumnes han de ser capaços d’arribar als resultats correctes en càlculs exactes, però també han de desenvolupar la fluïdesa a l’hora d’estimar.
Fer bones estimacions abans de resoldre una operació els permet escollir l’estratègia més adequada segons les circumstàncies, sigui amb paper i llapis o mentalment. I també influeix en l’elecció de l’estratègia si els nombres són propers o distants entre si.
A més, haver fet una bona estimació els ajudarà a determinar si el resultat obtingut és correcte o no.
Com aconseguir fluïdesa i criteri en l’ús d’estratègies
Un dels pilars per desenvolupar la fluïdesa en una operació és conèixer diferents maneres d’abordar-la.
Per això, a l’aula conviuen totes les estratègies que hem construït. Els alumnes no només han de comprendre-les, sinó també desenvolupar el criteri necessari per triar quina és la més adequada en funció del context i els nombres que han de treballar en cada operació.
Per assolir aquest objectiu, es dedica un temps important a construir profundament cadascuna de les estratègies, assegurant-ne la comprensió. No obstant això, la teoria no és suficient: la pràctica és imprescindible. Per aquest motiu, es proposen espais i activitats variades que treballen l’agilitat en els càlculs.
Encara que aquest procés requereix temps, la construcció d’una estratègia no sol estendre’s més enllà d’un mateix curs escolar. Per exemple, el pas del collaret de boles a la línia numèrica buida es treballa durant tot el primer any de primària, i els alumnes arriben a 2n sabent fer salts directament a la línia buida.
El que sí que s’amplia és la complexitat dels nombres amb els quals operem. Per això, a mesura que s’amplia el rang numèric (per exemple, de 10 a 20 o de 20 a 50), es reprèn el material manipulatiu amb l’objectiu de fer un altre cicle d’abstracció i abandonar-lo progressivament.
Per facilitar la visió de quan introduïm i retirem els materials i com aquestes estratègies es consoliden al llarg dels cursos, pots consultar la taula següent:
En definitiva, l’objectiu és construir una base sòlida perquè els alumnes avancin cap a processos matemàtics més abstractes i eficients, amb un coneixement que els permeti adaptar-se a qualsevol situació. Ara, toca practicar per acabar d’automatitzar o consolidar el que hem construït. Però això ho abordarem més endavant.
Referències bibliogràfiques:
Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Cambridge: Harvard University Press.
Carpenter, T. P., et al. (1999). Las matemáticas que hacen los niños: la enseñanza de las matemáticas desde un enfoque cognitivo.
Traducción de Castro Hernández, C., y Alonso, M. L.
Hmelo‐Silver, C. E., Duncan, R. G., y Chinn, C. A. (2007). Scaffolding achievement in problem-based and inquiry learning: A response to Kirschner, Sweller, and Clark (2006). Educational Psychologist, 42, 99- 107. https://doi.org/10.1080/00461520701263368
Tall, D. (1993) Success and failure in mathematics: the flexible meaning of symbols as process and concept. Mathematics Teaching, (Vol. 14, pp. 6-10). ISSN 0025-5785.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2008). Children learn mathematics: Learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Dutch design in mathematics education, V: 1. Utrecht: Freudenthal Institute, Sense Publishers.
Calvo, C., y Barba, D. (2005). 3×6.mat, Cuadernos de estrategias de cálculo. Barcelona.
Plunkett, S. (1979). Decomposition and all that rot. Mathematics in School, 8(3), 2-5.
Purpura, D. J., Baroody, A. J., Eiland, M. D., y Reid, E. (2016). Fostering first graders’ reasoning strategies with basic sums: The value of guided instruction. Elementary School Journal, 117(1), 72–100. https://doi.org/10.1086/687809
Schneider, M., Merz, S., Stricker, J., De Smedt, B., Torbeyns, J., Verschaffel, L., y Luwel, K. (2018). Associations of number line estimation with mathematical competence: A meta-analysis. Child Development, 89, 1467-1484. https://doi.org/10.1111/cdev.13068
