España
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
United States
El paisatge dels números segons el nostre model. Si ara no li veus el sentit, no pateixis: al final de l’article el sabràs llegir.
Entendre què és un nombre és una de les primeres grans fites de les matemàtiques. Un infant ha de descobrir que «tres» és allò que tenen en comú tres pomes, tres salts i tres picades de mans, i no tots ho descobreixen al mateix ritme. Per fer bones eines per ensenyar-ho, no n’hi ha prou de saber què funciona a l’aula: també cal entendre com el cervell representa les quantitats. Com més bé ho entenguem, més ben pensades podran ser les activitats, els materials i les proves que en surtin. Aquest estudi hi aporta una peça: un model de com passem d’una impressió de quantitat a un número concret.
Comencem amb un petit experiment. A la imatge de sota apareixeran uns punts durant una fracció de segon. No intentis comptar-los: només digues, tan de pressa com puguis, quants n’has vist.
Si ho has provat, segur que has notat la diferència. Amb 3 punts no has hagut de pensar: la resposta ja hi era. Amb 8 has hagut de fer una estimació ràpida, i probablement no n’estaves del tot segur.
No és una sensació només teva. És un dels fenòmens més estudiats de la cognició numèrica, i es repeteix en totes les persones. Les quantitats petites, fins a 3 o 4, les reconeixem gairebé sempre i a l’instant. A partir d’aquí, cada punt de més fa que encertem menys i que tardem més a respondre.
Respostes de prop de 380 adults que van veure entre 1 i 15 punts durant 160 mil·lisegons (dades obertes de Cheyette i Piantadosi, 2020). Amb 3 punts, el 90 % de les respostes són exactes; amb 8, només el 30 %. Respondre al 8, a més, costa prop d’un segon més.
Durant dècades, l’explicació més habitual ha estat que tenim dos sistemes diferents al cervell: un d’exacte per a les quantitats petites i un d’aproximat per a les grans. Però aquesta explicació deixa algunes preguntes sense resposta. Si hi ha dos mecanismes, on és la frontera entre l’un i l’altre? I per què la corba baixa a poc a poc, sense cap salt?
Ja als anys noranta, els psicòlegs Randy Gallistel i Rochel Gelman van proposar una alternativa: potser n’hi ha prou amb un sol sistema, molt precís amb els números petits i cada vegada menys precís amb els grans. La idea era atractiva, però li faltava una peça important: explicar com funciona aquest sistema. És a dir, com una impressió difusa de quantitat es
converteix en una resposta concreta, com ara «vuit». Aquesta és la peça que proposa el nostre model. Per entendre-la, però, abans calfer una petita volta i parlar de cançons.
Pensa en l’última vegada que algú va xiular una cançó al teu costat. Potser desafinava i potser es va saltar alguna nota, però la vas reconèixer igualment. La teva memòria va agafar un senyal imperfecte i el va completar.
La memòria no necessita un senyal perfecte. N’hi ha prou que s’assembli a un record perquè el reconeguem sencer.
Els científics en diuen completar patrons. El 1982, el físic John Hopfield va proposar una manera matemàtica de descriure aquest procés: una xarxa de neurones artificials que guarda records i que és capaç de recuperar-los a partir de versions incompletes o sorolloses. Aquella idea ha acabat sent una de les més influents de la ciència de la memòria i de la intel·ligència artificial.
Per explicar com funcionen aquestes xarxes, sovint es fa servir la imatge d’un paisatge. Cada record és una vall. Quan sents unes notes, és com si deixessis caure una bola en aquest paisatge, i recordar consisteix a deixar que la bola rodoli pendent avall fins al fons de la vall més propera.
Cada record és una vall. Una vall profunda atrapa la bola de seguida. Dues valls amples i poc profundes, en canvi, es toquen: la bola hi baixa a poc a poc i pot acabar en qualsevol de les dues.
El paisatge ajuda a entendre per què no tots els records funcionen igual. «Per molts anys» l’has sentida mil vegades, i és una vall profunda: encara que la bola caigui lluny del fons, hi arriba de pressa. Per això la reconeixes amb dues notes, encara que te les xiulin malament. Una cançó que només has sentit un parell de vegades a la ràdio és una vall ampla i poc profunda. La bola s’hi mou a poc a poc, i si a prop hi ha una altra cançó semblant, les dues valls es toquen i la bola pot acabar a la que no tocava.
Amb aquesta imatge ja tenim tot el que ens cal per tornar als números. El que hem viscut moltes vegades deixa valls profundes i nítides; el que hem viscut poc deixa valls amples; i els records que s’assemblen es poden confondre.
Ara canviem les cançons per números. En el nostre model, cada nombre enter (1, 2, 3, 4…) és un record, i per tant una vall del paisatge. Quan veiem uns punts durant un instant, els ulls i el cervell en fan una primera estimació, que sempre és una mica imprecisa: és l’equivalent del xiulet desafinat. Aquesta impressió deixa caure la bola, i el paisatge fa la resta.
El que importa és la forma de les valls. Els números petits són el nostre «Per molts anys», perquè els trobem constantment. Un estudi que va analitzar set llengües va mostrar que paraules com «un», «dos» o «tres» apareixen moltíssim més sovint que «tretze» o «disset». Partint d’aquesta idea, en el model les valls s’eixamplen a mesura que els números creixen. Ara bé, quan s’eixamplen i a quin ritme no ho vam fixar nosaltres: ho vam ajustar a partir de les respostes de les persones.
L’animació següent mostra el paisatge que en surt, i què els passa als nostres dos protagonistes:
El paisatge real del model, ajustat a les respostes de les persones. Cada bola cau una mica desplaçada, perquè la impressió inicial no és exacta. El temps de rodolar és el que el model fa servir per predir quant triga una persona a respondre.
Amb el 3, la bola cau a prop d’una vall estreta i profunda. El pendent és tan fort que la bola arriba alfons de seguida, encara que la impressió no fos exacta. La memòria corregeix l’error de la percepció, i la resposta és 3, ràpida i segura.
Amb el 8, la situació és molt diferent. Com que les valls d’aquesta zona són amples, s’han fos amb les veïnes, i el terreny que en resulta és gairebé pla. La bola a penes es mou: la memòria no pot corregir la impressió, i la resposta queda a prop d’on ha caigut la bola, que tant pot ser el 7 com el 8 o el 9. A més, com que el pendent és tan suau, la bola tarda molt a aturar-se, i per això responem més a poc a poc.
El model també inclou un límit: si la bola no s’atura a temps, la ment deixa de buscar i respon amb el que té. Això explica que, a partir d’uns 10 punts, les respostes ja no s’alenteixin més (és el replà de la corba del temps que hem vist al principi). Com decideix el cervell quan ha de plegar és una de les preguntes que encara queden obertes.
Si repetim el procés moltes vegades, apareix el mateix patró que havíem vist en les persones:
Cada bola és una resposta del model. Amb 3 punts, gairebé totes acaben al 3. Amb 8, s’escampen entre el 5 i el 12, i el 8 és, només per poc, la resposta més freqüent.
No calen dos sistemes. El mateix paisatge dona respostes exactes per als números petits i aproximades per als grans.
I la frontera que buscàvem? Simplement, no existeix. Les valls es van eixamplant a poc a poc, i per això la precisió també baixa a poc a poc. Cap al 8 o el 9, les valls ja s’han fos gairebé del tot.
Una animació bonica no demostra res. Per saber si el model és bo, cal comparar-lo amb dades reals i amb les explicacions alternatives:
Vam fer servir un conjunt de dades obert, publicat per Samuel Cheyette i Steven Piantadosi, de la Universitat de Califòrnia a Berkeley. Els participants veien entre 1 i 15 punts durant temps molt curts i escrivien quants n’havien vist. El model havia d’explicar tres coses alhora: quin número responia la gent, quantes vegades l’encertava exactament i quant tardava a respondre. I ho havia de fer amb un únic paisatge per a tots els temps d’exposició.
Els punts són les persones i la línia, el model (exposicions de 160 ms). El model reprodueix la resposta mitjana, la caiguda de les respostes exactes i l’augment del temps de resposta. No és perfecte: a la zona intermèdia, entre uns 5 i 9 punts, preveu una mica menys d’encerts i respostes una mica més ràpides que les reals.
Però no n’hi ha prou de reproduir les dades: també cal fer-ho millor que les alternatives. Per això vam comparar el model amb altres explicacions: una versió sense rodolar, una altra amb totes les valls iguals, el sistema aproximat clàssic i el model que els mateixos autors de les dades havien proposat. Per comparar-los fem servir una mesura estàndard, el criteri d’informació d’Akaike (AIC), que premia explicar bé les respostes i penalitza fer servir més peces de les necessàries. Com més llarga és la barra, pitjor explica les dades aquell model. Com a referència, una diferència de 10 punts ja es considera clara.
Comparació de models sobre les gairebé 53.000 respostes. El nostre model és el que millor les explica.
La comparació també ens diu que calen els dos ingredients. Si traiem el rodolar i llegim la resposta directament d’on cau la bola, el model empitjora. Si fem totes les valls iguals, empitjora encara més. La forma del paisatge i elfet de rodolar-hi aporten, cadascun, una part de l’explicació.
El model també es pot ajustar a cada persona per separat, i aquí apareix un resultat interessant: no tothom té el mateix paisatge. Algunes persones tenen valls ben separades fins al 12 o el 13; d’altres, només fins al 6 o el 7.
Esquerra: com seria el paisatge d’una persona amb valls separades fins al 13 i el d’una altra amb valls separades només fins al 7, dos valors habituals a l’estudi. Dreta: cada punt és una de les 360 persones que van completar totes les condicions. Com més lluny arriben les valls separades, menys s’equivoca la persona quan estima quantitats grans.
Les persones amb un paisatge més nítid en els números petits també són més precises quan estimen quantitats grans. I les dues coses es van mesurar amb respostes diferents: la nitidesa, amb els conjunts de fins a 8 punts, i la precisió, amb els de 9 o més. Que vagin juntes suggereix que no són dues habilitats independents, sinó dues cares d’un mateix paisatge. És una correlació, i per tant no ens diu què causa què, però encaixa amb la idea d’un sol sistema.
Podria semblar que tot això és una manera diferent de dir el mateix. No ho és, i creiem que importa per tres raons.
Dir que tenim dos sistemes descriu el que observem, però no explica com funciona. Un model com aquest calcula: per a cada quantitat de punts i cada temps d’exposició, fa una predicció concreta de què respondrà la gent i quant tardarà. Això vol dir que es pot equivocar, i que per tant el podem posar a prova i millorar. Així és com avança la ciència.
El model ens dona una manera precisa de descriure en què es diferencien dues persones: la nitidesa del seu paisatge. Sabem per estudis anteriors que la precisió d’aquest sentit numèric està relacionada amb el rendiment en matemàtiques. Tenir-ne una mesura interpretable ens acosta a entendre per què alguns infants tenen més dificultats, i a detectar-les aviat. A Innovamat, la prova COSMOS, que forma part del nostre programa d’intervenció primerenca, inclou tasques amb punts que apareixen durant mig segon, molt properes a les d’aquest estudi.
Si les valls són records, la seva forma depèn de l’experiència. Els números que trobem més sovint haurien de tenir valls més nítides, i l’experiència amb quantitats (i no només amb xifres) les hauria d’anar afinant. Encara no ho hem comprovat, però és una predicció clara, i connecta amb el que passa a l’aula: manipular, comparar i estimar quantitats podria ser una manera d’esculpir aquest paisatge. Amb un matís: les valls són veïnes, i modificar-ne una afecta les del costat. Entendre com s’afina el paisatge sencer sense desordenar-lo és una de les preguntes que ara ens interessen.
Com qualsevol model, aquest és una simplificació. Deixa preguntes obertes que marquen el camí dels propers estudis, i també obre una porta que ens interessa especialment.
Si les dificultats amb els números tenen a veure, almenys en part, amb un paisatge menys nítid, el model ens dona una manera nova de pensar com ajudar aquests infants. Primer, per detectar-les: tasques com les de COSMOS podrien servir per estimar fins a quin número té valls separades cada infant. Després, per actuar: dissenyar activitats pensades per afinar precisament les valls més borroses, sense desordenar les del costat. I finalment, per avaluar-les: el model ens hauria de permetre distingir una activitat que afina de debò el paisatge numèric d’una que només millora la percepció en general. Encara no ho hem provat amb infants, però és cap on volem anar.
Ara ja pots tornar a mirar la imatge de l’inici. Les valls profundes de l’esquerra són els números que veiem de cop; les amples de la dreta, els que hem d’estimar. Entre les unes i les altres no hi ha cap frontera, només un paisatge que canvia de forma a poc a poc.
L’article Correig-Fraga, E. (2026). An attractor account of numerosity readout. i-Perception, 17(5), 1–15. Accés obert: doi.org/10.1177/20416695261488294
Les dades Cheyette, S. J. i Piantadosi, S. T. (2020). A unified account of numerosity perception. Nature Human Behaviour, 4, 1265–1272. Dades a osf.io/svcy5 . El codi github.com/eudaldc/hopfield_numbers
Altres treballs citats: Hopfield (1982), PNAS 79, 2554–2558 · Gallistel i Gelman (1992), Cognition 44, 43–74 · Dehaene i Mehler (1992), Cognition 43, 1–29 · Halberda, Mazzocco i Feigenson (2008), Nature 455, 665–668.
