España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
En aquest article aprendre a restar i les seves estratègies per aconseguir fluïdesa i flexibilitat en el càlcul exacte i estimatiu.
Descarrega el nou Ebook
Explora aquest recurs que sintetitza de manera visual algunes de les estratègies més utilitzades de les operacions bàsiques
Articles relacionats:
Taula de continguts
Què significa realment saber restar?
Quant és 76 menys 28? Moltes vegades, quan pensem en una resta, el primer que ens ve al cap és la representació de l’operació en vertical.
Però una resta és molt més que això. Fer matemàtiques és molt més que això. A més de la comprensió profunda dels continguts, fer matemàtiques també implica resoldre problemes, fer connexions, raonar i comunicar amb diferents representacions.
Tornem a la resta de l’inici. Ja saps el resultat de 76 menys 28? Com l’has trobat? Podries haver-ho fet d’una altra manera?
Aquest tipus de preguntes ens permeten veure el domini que té cada alumne a l’hora de resoldre restes. I, en definitiva, predir si sap restar. Un alumne que domina la resta ha d’arribar al resultat correcte d’una manera eficient (ràpida i correcta) i entendre què està fent i per què.
Però, com arribem fins aquí? Quines estratègies presentem? Quin material utilitzem per a cadascuna? I quan hem d’abandonar aquest material?
Com veus, la resta és com un iceberg: el que veiem a la superfície és només una petita part de la seva complexitat. Et convidem a submergir-te en aquest article i explorar les profunditats didàctiques que hi ha sota l’aprenentatge de la resta.
Què és una resta?
Si tinc 8 caramels i me’n menjo 5, quants em queden?
Aquest exemple de situació contextualitzada mostra clarament quina és la visió més estesa que tenim de la resta: l’acció de treure. I, per tant, l’acció oposada a la suma.
Però restar també és separar elements d’un grup; i també trobar la distància entre dos nombres. És a dir, un fet que respon, per exemple, a la pregunta «Quina distància hi ha entre 28 i 76?».
Com resolem una resta?: Del concret a l’abstracte
El primer que cal entendre és que no hi ha una única manera de restar. L’algoritme estàndard que tots hem après no és l’únic que existeix. Tenir fluïdesa en una operació també implica conèixer les diverses formes de resoldre-la i tenir criteri per triar la més adequada segons el context i els nombres implicats.
Per garantir aquesta flexibilitat, a l’aula construïm un ventall ampli d’estratègies, posant el focus en la seva comprensió i practicant-les en molts moments per aconseguir eficiència.
Les principals estratègies que treballem per restar són:
- Salts sobre la línia numèrica
- La resta per descomposició
Cadascuna segueix una seqüència d’aprenentatge basada en el model CRA (Concret, Representatiu, Abstracte) per garantir la seva comprensió. Passem per tres moments:
- Partim de la manipulació amb diferents materials (Concret).
- Representem sobre paper el que fèiem manipulativament (Representatiu).
- Passem a les representacions abstractes, com els algoritmes (Abstracte).
Estratègia de salts sobre la línia numèrica
La primera estratègia que presentem a 1r de primària per sumar i restar és la de salts sobre la línia numèrica. La línia numèrica és una eina molt valuosa i visual que s’estén fàcilment per treballar rangs tan grans com vulguem; i introduir, en un futur, enters, racionals i irracionals.
Aquesta estratègia ens serveix per treballar el càlcul mental, resoldre operacions senzilles de manera molt eficient i deixar enrere el comptatge amb els dits.
A més, ens permet veure la resta amb els seus dos models:
- Model de treure elements: Podem imaginar-nos que estem en un punt i volem fer tants salts cap enrere com elements volem treure.
- Model de distància entre dos nombres: Ens permet veure molt clarament la distància que hi ha entre dos nombres, representant els dos nombres que volem restar i comptant la distància del salt que hi ha entre ells.
Trajectòria didàctica de l’estratègia de salts sobre la línia numèrica
El primer pas de la seqüència didàctica de l’estratègia de salts és practicar salts cap endavant i cap enrere amb el collaret de boles, per comprendre el sentit numèric.
A l’inici de conèixer aquesta estratègia, és normal que els alumnes comptin les boles d’una en una. Però aviat hem de fomentar l’ús d’estratègies més eficients per agilitzar el comptatge, com el canvi de colors (cada 5 o cada 10).
Un cop els alumnes hagin resolt correctament alguns restes amb el collaret (depenent de cada infant), hem de convidar-los a fer un primer pas cap a l’abstracció, representant sobre el paper el que estaven fent manipulativament.
A mesura que els alumnes adquireixen domini en els salts (tant manipulativament com en paper), ampliem progressivament els rangs de les boles: primer treballen amb el collaret de 10 boles, després passen a 20 i finalment arriben fins a 50.
Per seguir compactant les representacions i treure els alumnes de la seva zona de confort, una vegada que hagin resolt correctament diverses restes amb representacions concretes, els convidem a passar a la línia bicolor. És a dir, seguim diferenciant els colors i les marques en la representació, però no els nombres concrets.
A poc a poc, deixem enrere els colors i les marques, fins que finalment arribem a la línia numèrica buida. En aquest article, ho expliquem amb més detall.
Els alumnes practiquen salts de moltes maneres diferents, i així n’aconsegueixen el domini i optimització. Per exemple, la resta 76 – 28 podem resoldre-la de dues maneres:
Però segur que hi ha altres maneres!
I això no acaba aquí. Arribarà un moment en què ja ho tindran tan integrat que no necessitaran ni la representació en paper perquè sabran resoldre-ho mentalment.
Estratègia de la resta per descomposició
A 2n de primària construïm una altra estratègia més centrada a treballar el càlcul escrit de la resta: l’estratègia de descomposició, la qual ens permet arribar a l’algoritme estàndard d’una manera molt transparent.
Per dominar aquesta estratègia, el primer que cal entendre és que en matemàtiques cada una de les xifres dels nombres que intervenen en una operació representa una quantitat específica. I això és fonamental.
Per exemple, el 76 és un nombre compost per 7 desenes (70 unitats) i 6 unitats. Per això treballem el sistema decimal posicional en profunditat, introduint diferents materials com l’àbac, a l’inici, i els blocs base 10, posteriorment.
Trajectòria didàctica de l’estratègia de resta per descomposició
El primer pas per treballar l’estratègia de descomposició és restar amb material manipulatiu. En aquest cas, els blocs base 10.
Gràcies a aquest material, els infants observen el significat de la resta com el fet de treure o separar elements d’una quantitat inicial. Per exemple, comencem amb una resta senzilla: 26 – 12. Descomponem el 26 en 2 desenes i 6 unitats. Si a 2 desenes li’n traiem 1, ens queda 1 desena. I si a 6 unitats li’n traiem 2, ens queden 4 unitats. Així doncs, el resultat de 26 – 12 és 14.
Ara bé, hem d’aprofitar aquesta etapa de manipulació per fer restes més complexes, on no sempre podem treure el que volem perquè no en tenim prou.
Per exemple, 76 – 28: a 6 unitats no li’n podem treure 8. Llavors, aquí hem d’animar-los a fer una bona planificació de la situació i demanar canvi a les desenes per tenir més unitats.
Per tant, en lloc de descompondre el 76 en 7 desenes i 6 unitats, ens interessa expressar-lo com 6 desenes i 16 unitats (hem convertit una desena en unitats). D’aquesta manera, podem resoldre l’operació. A 16 unitats li’n traiem 8, per tant, ens en queden 8. I a 6 desenes li’n traiem 2, així que ens en queden 4. En total, 48.
És evident que aquest procés ajuda els alumnes a entendre que les coses no passen perquè sí, i a comprendre d’on prové cada un dels passos. Però, encara que és molt transparent, és lent i poc eficient.
Per això, una vegada que els alumnes hagin resolt alguns restes d’aquesta manera, hem de convidar-los a fer un primer pas cap a l’abstracció, representant en paper el que feien manipulativament. Per exemple, mentre resolen restes, poden dibuixar al costat els blocs base 10 amb creus i pals per tenir un suport visual.
Una vegada hagin resolt correctament diverses restes així, hem de convidar-los a sortir de la seva zona de confort, animant-los a reduir l’ús de representacions concretes. I així, progressivament, anem retirant els suports fins a arribar a una representació de l’algoritme estàndard de la resta.
Deduir resultats a partir de fets coneguts: la clau per pensar com un matemàtic
Paral·lelament a la construcció de les estratègies, a l’aula els alumnes també han de practicar i desenvolupar habilitats clau per a les matemàtiques, com deduir resultats a partir de fets que ja coneixen. Les matemàtiques són, per definició, una ciència deductiva.
Això no només fomenta la seva capacitat de raonament, sinó també altres competències essencials com establir connexions, formular conjectures i pensar com a autèntics matemàtics.
En el cas de la resta, aquesta habilitat es manifesta en la capacitat de simplificar operacions. Per exemple, un alumne competent en fets coneguts i derivats pot deduir que 76 – 28 és equivalent a 78 – 30.
Aquest ajust, basat en el criteri de translació dels nombres, manté la mateixa diferència entre els valors mentre converteix l’operació en una de més senzilla. Aquesta flexibilitat demostra no només domini del sentit numèric, sinó també la capacitat d’optimitzar els càlculs.
Els alumnes aviat descobreixen que aquesta estratègia és molt útil per resoldre càlculs més ràpidament. Per això, han de practicar-la en diferents moments per guanyar seguretat i fluïdesa.
La importància de fer estimacions
Finalment, no hem d’oblidar el càlcul estimatiu. Sí, els càlculs han de ser correctes i exactes. Però també és necessari tenir fluïdesa a l’hora de fer estimacions.
Fer bones estimacions abans de resoldre una operació ajuda a triar l’estratègia més adequada segons les circumstàncies (si tenen paper i llapis o han de fer-ho mentalment) i segons els nombres implicats (si són propers o distants entre si).
A més, haver fet una bona estimació també els ajudarà a determinar si el resultat obtingut és correcte o no.
Com aconseguir fluïdesa i criteri en l’ús d’estratègies
Un dels pilars per desenvolupar la fluïdesa en una operació és conèixer diferents maneres d’abordar-la.
Per això, a l’aula conviuen totes les estratègies que hem construït. Els alumnes no només han de comprendre-les, sinó també desenvolupar el criteri necessari per triar quina és la més adequada en funció del context i els nombres que han de treballar en cada operació.
Per assolir aquest objectiu, es dedica un temps important a construir profundament cadascuna de les estratègies, assegurant-ne la comprensió. No obstant això, la teoria no és suficient: la pràctica és imprescindible. Per aquest motiu, es proposen espais i activitats variades que treballen l’agilitat en els càlculs.
Encara que aquest procés requereix temps, la construcció d’una estratègia no sol estendre’s més enllà d’un mateix curs escolar. Per exemple, el pas del collaret de boles a la línia numèrica buida es treballa durant tot el primer any de primària, i els alumnes arriben a 2n sabent fer salts directament a la línia buida.
El que sí que s’amplia és la complexitat dels nombres amb els quals operem. Per això, a mesura que s’amplia el rang numèric (per exemple, de 10 a 20 o de 20 a 50), es reprèn el material manipulatiu amb l’objectiu de fer un altre cicle d’abstracció i abandonar-lo progressivament.
Per facilitar la visió de quan introduïm i retirem els materials i com aquestes estratègies es consoliden al llarg dels cursos, ho mostrem a la taula següent:
En definitiva, l’objectiu és construir una base sòlida perquè els alumnes avancin cap a processos matemàtics més abstractes i eficients, amb un coneixement que els permeti adaptar-se a qualsevol situació. Ara, toca practicar per acabar d’automatitzar o consolidar el que hem construït. Però això ho abordarem més endavant.
D’on ve l’algoritme tradicional de la resta que vam aprendre els catalans?
Com hem dit, la resta és complexa en dos sentits. D’una banda, existeixen dos models mentals que utilitzem per restar que són «voler treure elements d’un conjunt que tenim» i «trobar la distància entre dos nombres»; i, d’altra banda, dues estratègies principals: salts sobre la línia numèrica i descomposició.
Si ens ho imaginem com una taula de doble entrada, aquesta seria la imatge:
Quines combinacions d’estratègies i models podem fer per resoldre 76-17?
- Podem resoldre-la per descomposició en concepte de treure: si a 76 li’n trec 17, quants me’n queden.
- Podem resoldre-la per salts en concepte de treure: Si parteixo del 76 i vaig 17 enrere on caic.
- Però també podem resoldre-la per salts en concepte distància: Del 17 al 76 quants n’hi van.
I què passa amb la combinació d’estratègia de descomposició en concepte de distància? Aquí és on entra l’algoritme tradicional de la resta que vam aprendre molts catalans. Sí, allò d’emportar-nos una de dalt a baix.
Aquest algorisme es basa a modificar tant el minuend com el subtrahend per evitar el «demanar canvi» que fèiem quan volíem treure elements. L’objectiu d’aquest algorisme és trobar la distància entre nombres. Però en aquest cas, com que ho representem en vertical donant-li importància a la posició de les desenes i les unitats, estem treballant amb la seva descomposició.
Com? Descobrim-ho resolent 76-17:
Ens representem el 76-17 en vertical. Tenim clar que la descomposició del 76 són 7 desenes i 6 unitats; i la del 17 són 1 desena i 7 unitats.
Començant per les unitats, de 7 a 6 quants n’hi van? (amb aquesta frase, estem expressant que volem trobar la distància entre el 7 i el 6). Com que el 7 és més gran que el 6 no podem trobar aquesta distància, cosa que també ens passava quan estàvem en concepte de treure. Per això, hem de buscar alguna manera de convertir aquest 6 en un nombre més gran que 7. I el que ens diu l’algorisme és que busquem la distància fins a 16. Però com ho aconseguim?
Si estiguéssim en concepte de treure demanaríem canvi a les desenes. Però en aquest cas, com que el que ens interessa és trobar la distància i evitar demanar canvi, per aconseguir aquest 16 el que fem és desplaçar 10 unitats endavant el 76. Per tant, ara ja no parlem de 76 sinó de 86, expressat com un 70+16. I ara sí que ho podem resoldre: de 7 a 16 quants n’hi van? 9!
Però vigilem, perquè això no acaba aquí. La distància que busquem ara és entre el 17 i el 86? No! Hem de seguir mantenint la distància plantejada a l’inici, aquella que hi ha entre el 17 i el 76.
Però com que hem desplaçat 10 unitats a la dreta el nombre de dalt (minuend), hem de fer el mateix amb el subtrahend, per mantenir la distància que buscàvem. Així, fem un salt del 17 al 27. I és d’aquí d’on surt el ens n’emportem una a baix.
I ara sí: de 2 a 7 n’hi van 5. (Que aquí en realitat vol dir que de 20 a 70 en van 50). Per tant, el resultat final és 59.
Si ens fixem aquesta estratègia és la més completa. No només treballa la descomposició dels nombres, sinó que ho combina amb el domini del sentit numèric i dels salts. Encara que es puguin resoldre les operacions sense saber l’origen i el significat d’aquest algoritme, creiem fermament que els alumnes han d’entendre d’on surten els passos.
Perquè, què passa quan un alumne no recorda com funcionava l’algoritme? Quan no recorda on s’ha d’emportar què? Si entén el sentit numèric i entén què està fent, pot trobar altres maneres de resoldre l’operació.
El procediment d’aquest algoritme no deixa de ser moure estratègicament els dos nombres per convertir l’operació en una altra que no ens doni tants problemes. Però ja posats, podem fer aquesta operació més senzilla encara! Tenint flexibilitat i un domini alt del sentit numèric, ens podem convertir el 76-17 en un 79-20 (hem desplaçat els dos nombres 3 unitats endavant). I fins i tot, podem resoldre-la mentalment!
Si observem, l’algoritme (el procediment mecànic) sempre ens obliga a desplaçar 10 unitats endavant perquè funcioni sempre. Però si en cada cas decidim nosaltres quant hem de desplaçar els nombres, desenvolupem una comprensió més profunda i flexible, en lloc de limitar-nos a seguir un patró fix.
Per això, és molt important no centrar-nos a resoldre operacions a través d’algoritmes i aplicar-los com una recepta, sense pensar; sinó en fomentar la comprensió del procés perquè els nostres alumnes raonin i aprenguin de manera significativa.
Referències bibliogràfiques
Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Cambridge: Harvard University Press.
Carpenter, T. P., et al. (1999). Las matemáticas que hacen los niños: la enseñanza de las matemáticas desde un enfoque cognitivo.
Traducción de Castro Hernández, C., y Alonso, M. L.
Hmelo‐Silver, C. E., Duncan, R. G., y Chinn, C. A. (2007). Scaffolding achievement in problem-based and inquiry learning: A response to Kirschner, Sweller, and Clark (2006). Educational Psychologist, 42, 99- 107. https://doi.org/10.1080/00461520701263368
Tall, D. (1993) Success and failure in mathematics: the flexible meaning of symbols as process and concept. Mathematics Teaching, (Vol. 14, pp. 6-10). ISSN 0025-5785.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2008). Children learn mathematics: Learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Dutch design in mathematics education, V: 1. Utrecht: Freudenthal Institute, Sense Publishers.
Calvo, C., y Barba, D. (2005). 3×6.mat, Cuadernos de estrategias de cálculo. Barcelona.
Plunkett, S. (1979). Decomposition and all that rot. Mathematics in School, 8(3), 2-5.
Purpura, D. J., Baroody, A. J., Eiland, M. D., y Reid, E. (2016). Fostering first graders’ reasoning strategies with basic sums: The value of guided instruction. Elementary School Journal, 117(1), 72–100. https://doi.org/10.1086/687809
Schneider, M., Merz, S., Stricker, J., De Smedt, B., Torbeyns, J., Verschaffel, L., y Luwel, K. (2018). Associations of number line estimation with mathematical competence: A meta-analysis. Child Development, 89, 1467-1484. https://doi.org/10.1111/cdev.13068
