Nombres enters i naturals: de quins n’hi ha més?

10/04/2023|12 min de lectura

Nombres enters i naturals: de quins n’hi ha més?

La Mariama és una alumna de 1r d’ESO que estima molt les mates. Ens ho va fer saber en una carta que li va escriure a la Sam, la nostra protagonista de la trama de secundària. El que li deia ens va meravellar, a veure què us sembla:

Tinc una pregunta que crec que em podries ajudar a resoldre. Què creus: que hi ha més nombres naturals o enters? També m’agradaria saber per què.

Recordo perfectament la sensació que vaig tenir en llegir la carta, i especialment la pregunta. Se’m van negar els ulls i vaig cridar eufòric per les oficines perquè sentia la necessitat de compartir aquella carta amb tothom. Cada vegada que la llegia se’m posava la pell de gallina. D’alguna manera, era una petita evidència que els docents —i històries com el viatge de Sam— podem generar el canvi que volem en els nostres alumnes: ajudar-los a fer-se les preguntes necessàries per créixer, i guiar-los en el descobriment de les respostes.

Una noia de 12 anys s’estava plantejant una pregunta de rellevància crucial en la història de les matemàtiques. I ara, nosaltres ens enfrontàvem a un gran repte: com donar resposta a aquesta carta. Com va dir el gran matemàtic alemany Georg Cantor:

Aquesta entrada del blog neix inspirada per la Mariama i per tants altres alumnes com ella. Pel que són capaços de generar quan els donem la paraula.

L’interès de la pregunta

La resposta a la pregunta de la Mariama pot semblar evident, d’entrada. Si ens preguntem quants nombres naturals hi ha, la resposta que ens ve al cap és «infinits». El mateix passa si ens preguntem quants nombres enters hi ha. Llavors, pot semblar obvi respondre: «N’hi ha la mateixa quantitat, infinits.» Però, d’alguna manera, sembla que d’enters n’hi hagi d’haver més que de naturals, no? Al cap i a la fi, els nombres naturals conformen només una part del conjunt dels nombres enters. Si deixem el zero de banda, cada nombre natural té un altre enter oposat (1, -1; 2, -2; etc.). Per tant, hi ha alguna cosa que se’ns escapa.

I és que l’infinit és un concepte extremadament complex i poc intuïtiu, però alhora fascinant, com exposa molt bé el documental Un viaje al infinito, dirigit per Jonathan Halperin i Drew Takahashi. De fet, no va ser fins al segle XIX, quan Georg Cantor va ser capaç de començar a posar llum a tota aquesta foscor. Interessat per l’estudi de l’infinit, Cantor va iniciar el que es coneix com a teoria de conjunts, que ha estat (i és) part imprescindible per al desenvolupament de les matemàtiques actuals. En paraules d’un altre gran matemàtic alemany, David Hilbert:

Hilbert també estava molt interessat per l’infinit i va ser un dels ferms defensors de la teoria de Cantor, que durant aquella època va tenir molts detractors per les idees summament revolucionàries que aportava. Amb aquesta teoria, Cantor era capaç de formalitzar que hi ha infinits de mides diferents. Però, què passa amb els enters i els naturals? El seu infinit és de la mateixa mida o no? Per poder entendre les idees més elementals que va formalitzar Cantor sobre l’infinit, convé viatjar en el temps uns quants milers d’anys enrere.

L’arrel de tot: el comptatge

Els primers indicis de matemàtiques sorgeixen de la necessitat de comptar. Ara mateix ho tenim fàcil. Per comptar, fem servir nombres. Antigament, però, no feien servir els nombres com els coneixem actualment…

Si un pastor volia tenir el control de la quantitat d’ovelles del ramat, només li calia disposar de tantes pedres com ovelles. Si volia treure les ovelles a pasturar, podia tenir el control de quantes sortien de la granja apartant una pedra per cada ovella que havia sortit. I després, tornar les pedres una a una, a mesura que les ovelles anaven tornant.

Així doncs, la noció més fonamental del comptatge consisteix a comparar conjunts d’elements a partir d’establir una correspondència u a u. Si a l’hora d’establir la correspondència u a u entre dos conjunts A i B, per exemple, podem aparellar cada element d’A amb un únic element de B, però queden elements de B lliures, aleshores el nombre d’elements de B és més gran. De fet, un infant que no sap comptar, probablement farà servir aquesta estratègia per comparar dos conjunts.

«Hi ha més cubets grocs que verds, perquè queda un cubet groc sense aparellar amb un de verd.»

Si, en canvi, podem establir una correspondència biunívoca entre els elements dels conjunts —és a dir, una correspondència u a u per a tots els elements dels dos conjunts–, sabem que els dos conjunts tenen la mateixa quantitat d’elements.

Enters vs. naturals

Què passa, doncs, quan volem comparar conjunts amb una quantitat infinita d’elements, com són els enters i els naturals? Seguim aquesta mateixa idea de comparar els elements u a u: diem que dos conjunts són igual de grans si podem establir una correspondència biunívoca entre aquests dos conjunts. Considerem el conjunt dels nombres naturals ℕ i el conjunt dels nombres enters ℤ:

ℕ={0, 1, 2, 3…} ℤ={…, -3, -2 -1, 0, 1, 2, 3…}

Potser, d’entrada, sembla que no puguem establir aquesta correspondència, però si hi pensem una mica, veiem que podem associar, de manera ordenada, als nombres naturals parells els nombres enters no negatius, i als nombres naturals senars, els nombres enters negatius:

Com que aquesta correspondència és biunívoca, podem dir que la quantitat d’enters és la mateixa que de naturals. Com va formalitzar Cantor, l’infinit dels naturals és igual de gran que l’infinit dels enters. I això obre un món fascinant i extremadament complex per investigar, ple de preguntes interessantíssimes a les quals ara no entrarem. Però qui s’hagi quedat amb ganes i curiositat de seguir explorant infinits de mides diferents i poder analitzar altres conjunts com ara els racionals, o l’interval [0,1], pot aturar-se a llegir el magnífic article «How Big Is infinity?», de Quanta Magazine.

Dit això, semblaria que la quantitat d’enters i de naturals és la mateixa. I el mateix passaria si comparéssim la quantitat de nombres parells amb la quantitat de nombres naturals. Però hi ha alguna cosa que no ens acaba de convèncer, oi? Intuïtivament, seguiríem pensant que, de nombres parells, n’hi ha la meitat que de naturals, igual que de múltiples de 5 n’hi ha una cinquena part que de naturals. Doncs potser convé canviar el punt de vista per trobar una manera que les matemàtiques satisfacin la intuïció.

Formalitzant la intuïció

Quan ens allunyem d’aquests infinits de la teoria de conjunts i ens endinsem en la teoria de nombres, apareix en la literatura matemàtica la densitat natural: un concepte que procura descriure com és de gran un subconjunt de nombres dins del conjunt dels nombres naturals. Aquest concepte de densitat va molt lligat a idees probabilístiques i quadra molt amb el que pensem intuïtivament, però també presenta alguns inconvenients —als quals avui no entrarem.

Imaginem que volem analitzar, per a diferents valors de 𝑛, la proporció dels nombres parells més petits que 𝑛 dins del conjunt dels nombres naturals més petits que 𝑛. Si anomenem P(𝑛) la quantitat de nombres parells més petits que 𝑛, i estudiem el quocient P(𝑛) / 𝑛 per a diferents valors de 𝑛, obtenim:

Com podem veure, a mesura que fem créixer 𝑛, el quocient de la quantitat de nombres parells més petits que 𝑛 entre la quantitat de nombres naturals més petits que 𝑛 s’apropa tant com vulguem a 1/2.

Amb aquesta idea de fons, d’anar al límit quan 𝑛 tendeix a infinit, es defineix la densitat natural dels nombres parells, que equival a 1/2. Aquesta densitat es pot estendre —tot i que no sempre— per a altres subconjunts dels nombres naturals.

Però la Mariama no es preguntava per subconjunts dels naturals, sinó que volia comparar els enters amb els naturals. Tot i que un concepte anàleg de densitat entera no està gaire estès en la literatura, el podríem construir de manera similar, prenent de referència el conjunt dels enters en lloc del conjunt dels naturals. Anomenem Z(𝑛) la quantitat de nombres enters de valor absolut més petit que 𝑛. Per exemple, per a 𝑛 = 10, tenim:

Z(10) = #{-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = 19

Si volem estudiar la proporció dels nombres naturals més petits que 𝑛 dins del conjunt dels enters de valor absolut més petit que 𝑛, podem replicar el raonament que hem seguit abans per comparar parells i naturals:

Com abans, també es pot comprovar que, a mesura que fem créixer 𝑛, el quocient de la quantitat de nombres naturals més petits que 𝑛 entre la quantitat de nombres enters de valor absolut més petit que 𝑛 s’apropa tant com vulguem a 1/2.

Si tornem a anar al límit quan 𝑛 tendeix a infinit, podem definir la densitat entera dels nombres naturals, que equival a 1/2.

Aquestes idees de densitats de subconjunts en el conjunt dels nombres naturals han despertat l’interès de molts matemàtics de gran rellevància, com ara de l’hongarès Paul Erdös (1913-1996), considerat un dels matemàtics més prolífics de tots els temps; o de l’australià Terrence Tao, un dels matemàtics més importants de l’actualitat. I encara hi ha moltes incògnites per descobrir al voltant d’aquest tema.

I les conclusions?

Així doncs, tot i que és veritat que podem dir —gràcies a Cantor— que el conjunt dels nombres enters és igual de gran que el conjunt dels nombres naturals, també tenim arguments probabilístics per dir que de nombres naturals n’hi ha la meitat que d’enters. Potser et sents decebut de no tenir una resposta categòrica a la pregunta plantejada, o potser ben al contrari, et sents satisfet de descobrir que les matemàtiques són un món molt més complex i creatiu del que t’imaginaves i no sempre hi ha una resposta única a una pregunta plantejada.

De fet, no hi ha cap branca de les matemàtiques que no tingui preguntes encara sense resposta. Preguntes que ha formulat (i segueix formulant) la comunitat matemàtica i que fan avançar i créixer aquesta disciplina de manera inesgotable.

No tinguem por que els nostres alumnes facin a l’aula preguntes que no sabem respondre, al contrari, acollim-les i valorem-les com un gran tresor. Mostrem-los que les matemàtiques són un món que s’enriqueix amb preguntes desitjoses de trobar resposta. Tant de bo puguem ajudar al fet que la Mariama, moguda per aquesta curiositat, segueixi plantejant preguntes que aportin el seu granet de sorra a la comunitat matemàtica.