España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
Descobreix com aprendre la multiplicació amb estratègies que van més enllà de memoritzar taules, fomentant la comprensió, la fluïdesa i la flexibilitat.
Descarrega el nou Ebook
Explora aquest recurs que sintetitza de manera visual algunes de les estratègies més utilitzades de les operacions bàsiques.
Articles relacionats:
Taula de continguts
Què vol dir realment saber multiplicar?
«2 × 7 = 14, 2 × 8 = 16, 2 × 9 = 18». Ho recordes? Així és com molts de nosaltres vam aprendre les taules de multiplicar. D’una en una, en ordre. Com qui aprèn els noms dels rius o de les capitals. Però, recitar les taules de memòria vol dir realment que sabem multiplicar?
Quan reduïm l’aprenentatge de la multiplicació a la simple memorització, perdem grans oportunitats per comprendre-la a fons. I entendre què vol dir multiplicar és clau per avançar en conceptes posteriors com la divisió o les potències
Un alumne que hagi comprès la multiplicació ha d’arribar al resultat correcte de manera eficient (fluida i precisa) i entendre què està fent i per què.
Però, com arribem fins aquí? Quines estratègies presentem? Com és el procés d’aprenentatge d’aquestes estratègies? Cal saber-se les taules de memòria?
Com veus, la multiplicació és com un iceberg: el que veiem a la superfície és només una petita part de la seva complexitat. Et convidem a submergir-te en aquest article i a explorar les profunditats didàctiques que hi ha darrere de l’aprenentatge de la multiplicació.
Què és una multiplicació?
«6 + 6 + 6 + 6», aquest és el significat més popular i estès d’una multiplicació: una suma iterada. Es tracta d’un model que consisteix en la suma repetida d’una mateixa quantitat d’elements.
Però multiplicar també es pot entendre com calcular quants elements hi ha si els col·loquem formant un rectangle. Aquesta idea es coneix com a model rectangular. Per exemple, 6 × 4 representa el nombre total d’elements disposats en un rectangle de 4 files i 6 columnes.
Com resolem una multiplicació, del concret a l’abstracte
El primer que cal entendre és que no hi ha una única manera de multiplicar.
L’algoritme que tots hem après no és l’únic. Tenir fluïdesa en una operació també implica conèixer les diverses formes de resoldre-la i tenir criteri per triar la més adequada segons el context i els nombres implicats.
Per garantir aquesta flexibilitat, a l’aula construïm un ampli ventall d’estratègies, posant el focus en la seva comprensió, i les practiquem en molts moments per aconseguir agilitat.
En el cas de la multiplicació, construïm l’algoritme a partir d’un model que ens ajuda a arribar-hi de manera visual i transparent: el model rectangular.
Aquesta estratègia segueix una seqüència d’aprenentatge basada en el model CRA (concret, representatiu, abstracte) per garantir-ne la comprensió. Passem per tres moments:
- Partim de la manipulació amb diferents materials (concret).
- Representem sobre paper el que fèiem manipulativament (representatiu).
- Passem a les representacions abstractes, com els algoritmes (abstracte).
Les taules de multiplicar: memoritzem o automatitzem?
El contingut estrella de cicle mitjà. S’han de saber de memòria? Com s’haurien d’aprendre?
Bé, les taules de multiplicar haurien de respondre’s ràpidament, ja sigui perquè ens les sabem de memòria o perquè les hem deduït molt de pressa a partir d’uns quants resultats bàsics sense gaire esforç.
El fet de no saber respondre-les ràpidament i, encara més, no tenir estratègies eficients per deduir-ne els resultats, fa que els infants hagin de dedicar esforços a càlculs bàsics, reduint la seva capacitat de concentrar-se en aspectes més avançats o complexos.
Ara bé, l’important és com les aprenem. Les taules de multiplicar no es presenten, sinó que es construeixen una a una partint molt de la deducció.
Però això no és suficient. El domini i l’automatització de les taules no es produeixen instantàniament després de construir-les. Per aconseguir-ho, a l’aula es fomenta la pràctica de les taules a través de la resolució de problemes (reptes), la cerca de patrons i multitud d’activitats interactives. Tot plegat amb l’objectiu de disposar d’eines i estratègies per automatitzar els resultats de les taules i deduir ràpidament els que encara no es responen amb fluïdesa.
Si vols saber més sobre l’aprenentatge de les taules de multiplicar, pots consultar aquest article.
El model rectangular de la multiplicació: el pas cap a l’algoritme estàndard
El model rectangular és una estratègia que utilitzem per construir progressivament l’algoritme estàndard i comprendre la propietat commutativa de la multiplicació.
El model de suma iterada ens serveix per als primers estadis del pensament multiplicatiu, però té un recorregut curt. Hem de complementar-ho amb el model rectangular i vincular-ho amb el càlcul d’àrees per evidenciar la propietat commutativa.
El model rectangular consisteix a veure la multiplicació com a elements situats en forma de rectangle. Per exemple, 17 × 4 és el total d’elements que hi ha ordenats en 4 files i 17 columnes.
A més, aquest enfocament permet treballar la descomposició dels nombres, una habilitat que els alumnes ja hauran practicat amb altres operacions i que continuaran desenvolupant quan construeixin la divisió.
Seqüència didàctica del model rectangular
El primer pas per introduir el model rectangular a la trajectòria didàctica consisteix a resoldre multiplicacions utilitzant el dibuix d’un rectangle, dividit en files i columnes.
Per exemple, per calcular 17 × 4, es dibuixa un rectangle amb 17 columnes i 4 files. És possible que al començament els infants tinguin dificultats per resoldre la multiplicació directament. No obstant això, poden deduir-ne la solució aplicant estratègies que ja dominen, com ara la descomposició dels nombres.
Encara que no se sàpiguen la taula del 17, sí que coneixen la del 4. Per tant, poden descompondre el 17 en 8 + 9 i dividir el rectangle gran en rectangles més petits. Adaptant 17 × 4 a (8 × 4) + (9 × 4), obtenen el mateix resultat, però amb nombres més manejables.
Però aquesta descomposició no és l’única. Un dels aspectes més importants és aconseguir que observin diferents maneres de descompondre una multiplicació. 8 + 9 és una opció, però també l’és 10 + 7.
Aquest model facilita la comprensió del procediment i els ofereix recursos en cas que es perdin en alguns dels passos.
La representació visual —el rectangle amb files i columnes— que acompanya l’operació és només un suport temporal. Un cop hagin resolt correctament algunes multiplicacions seguint aquest model, han d’avançar cap a representacions més abstractes. Primer eliminant el suport de files i columnes, i més endavant compactant les representacions fins a arribar, primer, a l’esquema multiplicatiu i, després, a l’algoritme estàndard.
Vegem com compactem una multiplicació una mica més avançada, com 12 × 15. Com que estem construint un contingut nou (les multiplicacions de dues xifres), hem de tornar a representacions concretes per entendre’n el procediment.
Per tant, representem un rectangle amb 12 files i 15 columnes, i apliquem el mateix criteri: descomponem cada nombre en quantitats més manejables. El 12 a 10 + 2 i el 15 en 10 + 5. A continuació, de manera sistemàtica, multipliquem tots els valors entre si i en sumem els resultats:
(10 × 10) + (10 × 5) + (2 × 10) + (2 × 5) = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
D’aquesta manera, un cop els alumnes hagin resolt correctament algunes multiplicacions així, se’ls convida a fer-ho sense el suport de files i columnes. Quan ho aconsegueixin, poden passar a l’esquema multiplicatiu fins a assolir la màxima compactació: l’algoritme estàndard de la multiplicació.
Deduir resultats a partir de fets que coneixen: la clau per pensar com un matemàtic
Paral·lelament a la construcció d’estratègies i la pràctica de les taules, a l’aula els alumnes també han de practicar i desenvolupar habilitats clau com deduir resultats a partir de fets que ja coneixen. Les matemàtiques són, per definició, una ciència deductiva.
Això no només fomenta la seva capacitat de raonament, sinó també altres competències essencials, com establir connexions, formular conjectures i pensar com autèntics matemàtics.
Un exemple clar d’aquesta competència es dona en la multiplicació quan un alumne pot deduir, per exemple, el resultat de 12 × 15 jugant amb dobles i meitats.
Si el doble de 15 és 30 i la meitat de 12 és 6, pot deduir el resultat de 12 × 15 a partir de 30 × 6, és a dir, 180.
Aquest alumne ha sabut ajustar l’operació per simplificar-la en una de més senzilla que ja coneix.
Els alumnes aviat descobreixen que aquesta estratègia és molt útil per resoldre càlculs més ràpidament. Per això, han de practicar-la en diferents moments per guanyar seguretat i fluïdesa.
La importància de fer estimacions
Finalment, no hem d’oblidar el càlcul estimatiu. Sí, els càlculs han de ser correctes i exactes. Però també és necessari tenir fluïdesa a l’hora de fer estimacions.
Fer bones estimacions abans de resoldre una operació ajuda a triar l’estratègia més adequada segons les circumstàncies (si tenen paper i llapis o han de fer-ho mentalment) i segons els nombres implicats (si són propers o llunyans entre si).
A més, haver fet una bona estimació també els ajudarà a determinar si el resultat obtingut és correcte o no.
Com aconseguir fluïdesa i criteri en l’ús d’estratègies
Un dels pilars per desenvolupar la fluïdesa en una operació és conèixer diferents maneres d’abordar-la.
A l’aula conviuen totes les estratègies que hem construït, per la qual cosa els alumnes no només han de comprendre-les, sinó també desenvolupar el criteri necessari per triar quina és la més adequada en funció del context i els nombres que han de treballar en cada operació.
Per assolir aquest objectiu, es dedica un temps important a construir profundament cadascuna de les estratègies, assegurant-ne la comprensió. No obstant això, la teoria no és suficient: la pràctica és imprescindible. Per aquest motiu, es proposen espais i activitats variades que treballen l’agilitat en els càlculs.
Encara que aquest procés requereix temps, la construcció d’una estratègia no sol estendre’s més enllà d’un mateix curs escolar. Per exemple, la construcció del model rectangular s no s’estén més enllà de 4t.
El que sí que s’amplia és la complexitat dels nombres amb els quals operem. A mesura que s’amplia el rang numèric, es reprèn el material manipulatiu amb l’objectiu de fer un altre cicle d’abstracció i abandonar-lo progressivament.
Per facilitar la visió de quan introduïm i retirem els materials i com aquestes estratègies es consoliden al llarg dels cursos, ho mostrem a la taula següent:
En definitiva, l’objectiu és construir una base sòlida perquè els alumnes avancin cap a processos matemàtics més abstractes i eficients, amb un coneixement que els permeti adaptar-se a qualsevol situació. I no ens oblidem de la pràctica, importantíssima per acabar de consolidar i automatitzar el que hem construït.
Referències bibliogràfiques
Bay-Williams, J., y Kling, G. (2019). Math fact fluency: 60+ Games Assessment Tools to Support Learning and Retention. ASCD.
Bay-Williams, J. M., & SanGiovanni, J. J. (2021). Figuring out fluency: Mathematics teaching and learning, grades K-8: Moving beyond basic facts and memorization (1a ed.). Corwin.
Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Cambridge: Harvard University Press.
Calvo, C., y Barba, D. (2005). 3×6.mat, Cuadernos de estrategias de cálculo. Barcelona.
Carpenter, T. P., et al. (1999). Las matemáticas que hacen los niños: la enseñanza de las matemáticas desde un enfoque cognitivo.
Traducción de Castro Hernández, C., y Alonso, M. L.
Hmelo‐Silver, C. E., Duncan, R. G., y Chinn, C. A. (2007). Scaffolding achievement in problem-based and inquiry learning: A response to Kirschner, Sweller, and Clark (2006). Educational Psychologist, 42, 99- 107. https://doi.org/10.1080/00461520701263368
Tall, D. (1993) Success and failure in mathematics: the flexible meaning of symbols as process and concept. Mathematics Teaching, (Vol. 14, pp. 6-10). ISSN 0025-5785.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2008). Children learn mathematics: Learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Dutch design in mathematics education, V: 1. Utrecht: Freudenthal Institute, Sense Publishers.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2002), Realistic mathematics education as work in progress, en: FOU-LAI LIN (eds.), Common sense in Mathematics. https://www.fisme.science.uu.nl/publicaties/literatuur/4966.pdf
