Què ens revelen les respostes de milers d’alumnes sobre les taules de multiplicar?

Maria Garcia|22/09/2026|8 min de lectura

Amb la col·laboració de: Cèlia Cortés, Marc Caelles, Marc Colomer, Laura Morera

Què ens revelen les respostes de milers d’alumnes sobre les taules de multiplicar?

Què ens expliquen els errors i els temps de resposta sobre la manera com els estudiants resolen les taules de multiplicar.

RESUM

En aquest article analitzem milions de respostes d’alumnes resolent multiplicacions per veure què ens poden explicar els errors i els temps de resposta sobre com s’aprenen les taules. Veurem que no totes les multiplicacions tenen la mateixa dificultat, que els errors segueixen patrons molt concrets i que combinar precisió i velocitat ens permet detectar famílies d’operacions amb comportaments especialment interessants.

Quant és 2 × 5? I 7 × 8? És possible que, només de llegir-les, una de les dues operacions t’hagi vingut al cap més de pressa que l’altra. Totes dues són multiplicacions que podem aprendre i recuperar de la memòria, però això no vol dir que el nostre cervell les tracti exactament igual.

Quan pensem en les taules de multiplicar, és fàcil imaginar-les com una llista d’operacions equivalents: o bé l’alumne se sap una multiplicació, o bé encara no se la sap. Però què passa quan deixem de mirar una resposta individual i n’observem milers alhora?

Apareix una imatge molt més rica. Hi ha multiplicacions que s’encerten més que d’altres; errors que es repeteixen una vegada i una altra; i operacions que, fins i tot quan s’acaben resolent bé, necessiten més temps. En altres paraules: les taules no semblen una col·lecció de fets independents, sinó un sistema ple de patrons, excepcions i connexions.

En aquest article mirarem aquest sistema des de tres angles molt senzills: quantes vegades s’encerta cada multiplicació, què responen els estudiants quan s’equivoquen i quant triguen a respondre. Tres mesures diferents per acostar-nos a una mateixa pregunta: totes les multiplicacions es manifesten igual en les respostes dels estudiants?

Un mapa desigual de les taules de multiplicar

Comencem per la pregunta més directa: quines taules de multiplicar generen més errors?

Per respondre-la, hem analitzat les dades d’una activitat de fluïdesa multiplicativa. La tasca consisteix a resoldre totes les multiplicacions que puguis en un temps limitat, posant en joc la memòria de l’alumnat i com responen sota pressió. Amb les dades del curs escolar 2025-2026 ja comptem amb dades de més de 170.000 alumnes de diferents edats resolent multiplicacions. Una quantitat de dades prou gran perquè, més enllà de les diferències individuals, comencin a emergir patrons molt clars.

Si calculem la taxa d’error de cada taula, el primer que observem és que la dificultat no està repartida de manera uniforme. Algunes taules es resolen amb molta més facilitat que d’altres.

Una part d’aquest patró és força intuïtiva. En general, a mesura que avancem cap a taules amb nombres i productes més grans, augmenten els errors. És el que en psicologia cognitiva es coneix com a problem-size effect, o efecte de la mida del problema: les multiplicacions que involucren nombres més grans tendeixen a ser més difícils i, habitualment, també requereixen més temps per respondre.

A la figura hem agrupat totes les edats per mostrar el patró de la manera més clara possible. Quan analitzem cada edat per separat, observem la mateixa tendència, que es manté de manera consistent a mesura que els alumnes creixen.

Però aquí arriba la part interessant: la mida del problema no ho explica tot.

Si només importés la magnitud dels nombres, esperaríem una progressió molt més regular. Però algunes taules es resolen millor del que la seva mida faria preveure. La taula del 5 n’és l’exemple més clar: la seva estructura és especialment regular —els resultats acaben sempre en 0 o 5— i està molt lligada a patrons de comptatge familiars – sumar quants dits tinc a les mans o als peus– com comptar de cinc en cinc, fet que pot facilitar-ne l’aprenentatge i la recuperació. La taula del 9 també presenta menys errors dels esperables per la seva magnitud, però si n’analitzem el temps de resposta, aquest és més alt del que s’esperaria per la taxa d’error. Això ens indica la possibilitat que els estudiants la resolguin amb estratègies. Les multiplicacions amb dos factors iguals —com 4 × 4 o 7 × 7— també formen una família particular i sovint mostren un rendiment millor que altres operacions de magnitud similar.

Ara bé, saber que una multiplicació genera més errors que una altra només ens explica quant s’equivoquen els estudiants. Encara no ens diu com s’equivoquen. I és aquí on la resposta incorrecta en si mateixa es converteix en una nova font d’informació.

Els errors no són aleatoris

Imaginem una multiplicació qualsevol. Si els estudiants no en recordessin el resultat i simplement responguessin a l’atzar, esperaríem trobar moltes respostes diferents repartides de manera més o menys dispersa. Però quan mirem què contesten realment, no és això el que passa.

Per observar-ho, hem analitzat les respostes dels alumnes durant la seva pràctica setmanal de fluïdesa aritmètica, un context en què resolen operacions amb l’objectiu de guanyar agilitat i precisió en el càlcul.

Aquí, de nou, hem agrupat totes les edats en una sola distribució per fer visible el patró general. Quan les separem, però, apareix una evolució interessant: en els alumnes més petits ja s’observen els pics típics associats a respostes concretes, però encara hi ha més dispersió cap a altres valors. Amb l’edat, aquesta distribució es concentra: les respostes cauen cada vegada més en uns pocs resultats, molts dels quals corresponen a altres fets de les taules de multiplicar.

Aquesta concentració ens permet començar a veure relacions entre multiplicacions. Entre les respostes incorrectes hi poden aparèixer valors propers al resultat correcte, però també resultats que corresponen a operacions “veïnes”. Per exemple, en intentar recuperar una multiplicació, pot aparèixer el resultat d’una altra operació semblant o propera dins la mateixa taula. Per exemple, en veure l’operació 6 × 7, dubtes entre 42 (la correcta!) i 48 perquè aquesta correspon a 6 × 8.

I això canvia la manera d’interpretar l’error. Un error no és necessàriament només l’absència del resultat correcte. També pot ser la presència d’una altra resposta que competeix amb ell.

Podem plantejar diverses hipòtesis per explicar per què molts errors coincideixen amb els resultats de multiplicacions properes. Una possibilitat és la competència entre fets aritmètics relacionats: quan l’alumne intenta recuperar una multiplicació de la memòria, també se n’activen d’altres de semblants o veïnes, i un d’aquests resultats incorrectes pot acabar interferint en la resposta. Una altra possibilitat és la recitació seriada de la taula: l’alumne recorre mentalment la seqüència de resultats de la taula i, per error, es desplaça una posició, de manera que respon amb el resultat anterior o posterior. Amb el patró d’errors observat, però, no podem saber quina d’aquestes dues explicacions és la correcta.

Aquesta mirada és especialment útil perquè dues respostes incorrectes poden explicar històries diferents. No és el mateix una distribució molt dispersa d’errors que una operació en què una sola resposta incorrecta concentra una gran part dels errors. La taxa d’error és la mateixa mesura en tots dos casos, però l’estructura que hi ha al darrere no ho és.

Afegim el temps: precisió i velocitat van de la mà

Fins aquí hem mirat què responen els estudiants. Però cada resposta conté una segona informació que sovint passa desapercebuda: quant temps han necessitat per donar-la.

Una multiplicació pot acabar amb la resposta correcta i, tot i així, haver necessitat pensar-hi més. Per això, si només distingim entre encert i error, ens perdem una part important del comportament.

La gran majoria de multiplicacions s’alineen al llarg d’un mateix núvol de tendència: com més sovint s’equivoquen els estudiants, més temps triguen, de mitjana, a donar una resposta. Les operacions amb nombres petits, com 2 × 3 o 4 × 2, tendeixen a concentrar-se a la zona de pocs errors i respostes ràpides. En canvi, multiplicacions amb operands més grans, com 6 × 9 o 8 × 7, apareixen més sovint a la zona de més errors i respostes més lentes.

Aquesta relació és coherent amb una idea força intuïtiva: les operacions que estan més ben consolidades es recuperen de manera més ràpida i precisa, mentre que les que resulten més difícils acostumen a requerir més temps i produeixen més errors. Però hi ha una família que se separa clarament d’aquest patró: les multiplicacions per 0.

Les operacions amb 0 presenten un perfil particular. Tot i acumular una quantitat considerable d’errors, les respostes són molt més ràpides del que esperaríem si seguissin la mateixa relació que la resta de multiplicacions.

Aquest perfil és compatible amb una interpretació interessant: en molts casos, els alumnes podrien estar aplicant ràpidament una regla associada al 0, més que recuperant un fet aritmètic de memòria. La velocitat de la resposta suggereix que no necessàriament estan “buscant” el resultat durant gaire estona; el problema és que la regla aplicada pot ser incorrecta o estar mal consolidada.

I és precisament aquí on és útil estudiar les variables de precisió i velocitat alhora. L’error per si sol, ens diu que la família ×0 presenta dificultats afegides que la del ×1 no té. En canvi, quan mirem també el temps, aquest ens revela que la família té un comportament aïllat de la resta de fets.

Quan hem mirat quines respostes donen els alumnes quan s’equivoquen amb la taula del 0, hi apareix un patró molt clar: sovint responen amb l’altre operand. Per exemple, davant de 6 × 0, una resposta incorrecta freqüent és 6; davant de 8 × 0, és 8, i el mateix patró es repeteix amb la resta d’operands. Aquest tipus d’error és especialment interessant perquè apunta a una possible confusió entre regles molt simples: l’alumne pot estar aplicant la regla de la multiplicació per 1 —“el nombre es manté”— o bé traslladant a la multiplicació la regla de la suma amb 0, on el nombre també es conserva. En tots dos casos, més que un error aleatori, les dades suggereixn que els alumnes apliquen una regla coneguda, però en el context equivocat.

Experiència a l’aula

A l’aula, aquests patrons encaixen bé amb una idea important: entendre les taules i guanyar fluïdesa no són exactament el mateix procés, però tots dos són necessaris. La taula del 0 n’és un bon exemple: una regla conceptualment molt simple es pot confondre amb la suma amb 0 o amb la multiplicació per 1, especialment quan cal respondre de pressa.

En aquest sentit, un cop les taules estan enteses, la pràctica de fluïdesa pot posar més èmfasi en les operacions amb operands del 6 al 9, que tendeixen a presentar una dificultat addicional. L’objectiu és que recuperar-ne el resultat requereixi cada vegada menys recursos mentals i deixi més espai disponible per a tasques matemàtiques més complexes.

Alhora, treballar bé propietats com la commutativa permet reduir enormement la quantitat d’informació que cal consolidar. Si considerem les taules del 0 al 9, passem de tractar 100 operacions com si fossin independents a només 55 fets diferents, perquè, per exemple, 7 × 8 i 8 × 7 comparteixen el mateix resultat.

Així, connexions, comprensió i pràctica no competeixen entre elles: es complementen per construir un coneixement que sigui alhora significatiu, flexible i àgil.