España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
En el post anterior, Cap als quatre anys comença a construir-se la idea de nombre, vam veure com s’aprenen les matemàtiques partint d’un currículum en espiral i quins tipus de continguts —els socials i els lògics matemàtics— conformen la base dels aprenentatges al voltant del nombre. Ara veurem alguns aprenentatges concrets, relacionats amb aquest «concepte de nombre» que a I4 s’inicien o s’amplien.
Continguts
Què aniran aprenent sobre el nombre a I4?
Com hem vist, els infants d’I4 van construint progressivament el concepte de nombre, és a dir, van entenent i connectant diverses idees i processos implicats en aquesta noció. El que se cerca és l’augment del sentit numèric entès aquest com la capacitat de comprendre els nombres i les quantitats de manera intuïtiva i flexible, i d’utilitzar-los per interpretar i resoldre situacions de la vida quotidiana.
Aquest procés, però, no és gens senzill: requereix temps i moltes experiències diverses perquè la noció de nombre es construeixi de manera sòlida. Vegem què ens diuen alguns investigadors sobre aquest tema:
«A la majoria d’adults, el coneixement i ús dels nou primers nombres naturals (u, dos, tres…) els sembla un assumpte molt senzill i obvi. Tanmateix, un infant necessita al voltant de cinc anys —aproximadament dels dos als set— per aprendre a utilitzar coherentment aquests nombres i per saber com aplicar-los a una varietat de situacions quotidianes. Aquest període s’allarga més encara si s’hi inclou l’ús de les operacions aritmètiques.»
Dickson, Brown i Gibson
Però per què aquest aprenentatge necessita tant de temps? Perquè el concepte de nombre és probablement una de les primeres grans nocions abstractes que construeixen els infants. A més, aquesta idea integra moltes altres nocions i processos que cal anar relacionant dins d’un mateix concepte.
Parlem, entre d’altres, de la subitització, el comptatge acústic, el comptatge enrere, la identificació del nombre anterior i posterior; el comptatge resultatiu, la transformació de quantitats, la suma i la resta, la descomposició dels nombres, la inclusió de les quantitats més petites, la comprensió del zero, l’ús dels signes aritmètics com +, − i =, etc.
És evident que dominar tots aquests aspectes, integrar-los en un sol constructe i fer-los servir per resoldre situacions de la vida quotidiana requereix temps i molta pràctica.
I com ho aniran aprenent, tot això, els infants de quatre anys? Una noció darrere l’altra? Cal dominar completament un aspecte abans de passar al següent? La resposta és no. Aquí reprenem la idea de l’aprenentatge en espiral de Bruner; a l’aula es treballaran totes aquestes nocions i processos de manera paral·lela i més o menys simultània, sense esperar el domini total d’un d’ells per iniciar-ne un altre i generalment aplicades a alguna situació quotidiana o contextualitzada.
Per seguir aprofundint en la idea de nombre a I4, podem dir que els infants d’aquestes edats aprenen a quantificar grups d’objectes, és a dir, a poder dir «quants n’hi ha» (en el cas de quantitats petites), i això ho poden fer de dues maneres principals, mitjançant la subitizació, o mitjançant el comptatge resultatiu. A continuació, desenvolupem aquestes dues idees.
La subitització
La subitització és la capacitat de reconèixer d’un cop d’ull quants elements hi ha en un grup, sense haver-los de comptar d’un en un. Podem parlar de dos tipus de subitització: la perceptiva i la conceptual.
La subitització perceptiva és quan reconeixem una quantitat només mirant-la, sense haver de pensar gaire ni fer cap relació. Piaget ja en parlava i ho anomenava els nombres perceptius, perquè la quantitat simplement es veu. Aquest tipus de reconeixement funciona molt bé amb quantitats petites, com ara 1, 2, 3 o 4, i també quan els objectes estan col·locats d’una manera coneguda, com els punts dels daus fins al 5 o el 6.
Subitització perceptiva: Si preguntem «Quants n’hi ha?», segurament respondran «tres» de seguida, perquè ho hauran vist d’un cop d’ull.
Quan les quantitats són una mica més grans o estan col·locades de maneres diferents, entra en joc la subitització conceptual. En aquest cas, els infants reconeixen la quantitat total relacionant petits grups entre ells. Ja no és només mirar, sinó reconèixer diferents quantitats petites i relacionar-les mentalment. Comencen a entendre que les quantitats es poden transformar (ajuntar i separar grups d’elements), i a connectar-ho amb la descomposició, la suma i la resta. Així és com van desenvolupant el sentit numèric. Per això diem que aquesta és una subitització més cognitiva.
Subitització conceptual: Si preguntem «Quants n’hi ha?» i responen «quatre», podem demanar «Com ho has vist?». Sovint explicaran coses com ara «un a sobre i tres a sota», o «dos al mig i un a cada banda». Això vol dir que han reconegut petits grups i els han ajuntat per arribar al total.
Tant la subitització perceptiva com la conceptual són molt importants per desenvolupar el sentit numèric. Ajuden a preparar el cervell per comptar i calcular més endavant. Són habilitats que apareixen de manera natural en els infants, però que es poden reforçar si es practiquen sovint. A I4, sobretot, treballem el reconeixement ràpid de quantitats petites a cop d’ull, és a dir, la subitització perceptiva. Tot i això, també podem començar a introduir la subitització conceptual en quantitats petites.
Les activitats de subitització normalment es fan en gran grup, amb una conversa conjunta, i duren poca estona. Trobareu algunes propostes que treballen aquesta habilitat a alguns Tallers, a continguts de temporada i a un regal especial a la darrera carta de la Judith ;).
El comptatge resultatiu
Una altra manera de poder quantificar un grup d’objectes és a través del comptatge resultatiu. Aquest és, però, un procés que els infants triguen força temps a dominar i, sobretot, a escollir-lo de manera espontània com a eina útil per resoldre situacions de la vida quotidiana. Això per què passa?
Segons la recerca, el comptatge no esdevé una eina plenament fiable fins als 6 anys aproximadament (Dickson et al., Kamii, Piaget), precisament perquè per poder utilitzar el comptatge resultatiu de forma eficient cal dominar una sèrie d’habilitats importants:
- Saber recitar el nom dels nombres de manera ordenada, és a dir, dominar el comptatge acústic.
- Tenir la coordinació oculo-manual-verbal per assenyalar un i, només un, objecte al mateix temps que es diu cada paraula.
- Portar el control dels objectes comptats i els que no, sense repetir-ne cap, ni deixar-ne cap.
- Saber que l’última paraula dita determina el cardinal, és a dir, és el nombre que indica el total el grup, és la resposta a «Quants n’hi ha?».
Com podem veure, comptar bé implica dominar moltes habilitats diferents al mateix temps. Com que aquestes es desenvolupen progressivament, és normal que a les primeres edats els infants encara no les controlin totes, i per això el comptatge resultatiu sovint no és una eina del tot efectiva per resoldre situacions reals.
Així doncs, el fet que molts infants menors de 7 anys no escullin el comptatge, tot i saber comptar, té sentit: la recerca mostra que encara no el viuen com una estratègia segura o necessària.
Per això, a l’escola és important treballar en dues direccions. D’una banda, ajudar els infants a desenvolupar cada una de les habilitats necessàries per poder comptar sense esperar que ho dominin tot de seguida. Cal donar-los temps per assajar, equivocar-se i anar integrant aquest aprenentatge.
D’altra banda, cal crear situacions amb interrogants en les quals els infants puguin escollir el comptatge com a estratègia per resoldre-la, sense imposar-lo. Podrem dir que un infant ha construït el comptatge resultatiu com una eina realment eficaç quan el fa servir de manera espontània, perquè li resulta útil per resoldre la situació que se li presenta. Però tal com assenyala Kamii, necessiten temps i experiències reals per anar fent seu el procés de recompte. L’ús del comptatge no es pot imposar: cada infant l’anirà incorporant com a recurs propi quan entengui que és una bona estratègia per donar resposta a un repte concret.
Com en Jean-Pierre descobreix el comptatge
A continuació trobeu un exemple que descriu la Constance Kamii, de com un infant concret aprèn l’ús del comptatge resultatiu a través de l’observació d’una situació real.
Una mare demanava al seu fill de cinc anys que cada dia, a l’hora de dinar, posés un tovalló al plat de cadascú. Normalment s’asseien quatre persones a taula. En Jean-Pierre sabia comptar fins a 30 o més. No obstant això, anava a l’armari a agafar el primer tovalló i el col·locava en un plat, tornava a l’armari a agafar un segon tovalló que col·locava al segon plat, i així successivament, realitzant un total de quatre viatges.
Als 5 anys, 3 mesos i 16 dies, va pensar espontàniament a comptar els plats, va comptar quatre tovallons que calia treure de l’armari i els va distribuir a taula. Va actuar així durant 6 dies. El setè dia va arribar un convidat i, per tant, hi va haver un plat més del que és habitual. En Jean-Pierre va agafar quatre tovallons com de costum, els va distribuir, i es va adonar que un plat seguia buit. En comptes d’agafar un tovalló més va recollir els quatre que ja eren als plats i els va tornar a portar a l’armari. Després va tornar a començar i va fer cinc viatges per dur a terme la tasca.
L’endemà el convidat no hi era, però en Jean-Pierre va continuar fent quatre viatges durant cinc dies més fins que va tornar a descobrir com comptar. Després d’utilitzar aquest mètode durant deu dies, van dir a en Jean-Pierre que hi havia de nou un convidat. El nen va distribuir quatre tovallons com de costum, però aquesta vegada, quan va veure el plat buit, simplement va anar a agafar el tovalló que faltava. L’endemà, quan hi va haver un altre cop només quatre persones, va comptar el nombre de plats abans d’anar a buscar el mateix nombre de tovallons. L’arribada d’un nou convidat no va suposar un problema mai més.
«A l’exemple anterior hem vist la diferència entre comptar mecànicament i comptar quan és el nen qui ho escull per resoldre un problema real. Saber com es compta és una cosa. Saber fer-ho quan trobem algun interrogant que volem resoldre és una cosa força diferent.»
Kamii
Si s’hagués dit a en Jean-Pierre que comptés els plats i els tovallons, hauria après a dependre dels altres. Com que no se li va donar una instrucció precisa, va tenir l’oportunitat de desenvolupar la seva autonomia intel·lectual i la confiança en si mateix.
Per tancar
En aquest escrit ens hem centrat principalment en l’augment del sentit numèric, focalitzant en la subitització i el comptatge resultatiu, però, mentre en parlàvem, han anat sortint altres nocions que estan implicades en aquest concepte de nombre. En efecte, a I4 apareixen més idees noves al voltant del concepte de nombre, però com que en aquest moment just es van iniciant, les retrobarem amb més calma quan parlem de com segueix aquest viatge apassionant de construir aquesta gran noció abstracta.
Sabent que el coneixement del nombre té diverses capes de profunditat (Bruner), què ens espera el curs vinent, dels cinc als sis anys? Doncs descobrir i construir idees com per exemple, saber que aquest nombre que hem trobat a través del recompte:
- sempre és més petit que tots els nombres següents i més gran que tots els anteriors,
- inclou dins seu tots els nombres més petits que ell,
- es pot transformar, si n’hi afegim es fa més gran, si en traiem es fa més petit,
- es pot descompondre, és a dir, pot separar-se en diferents parts i en tornar-les a ajuntar sempre es manté el mateix total,
- es pot separar de diferents maneres en dues parts. I podem trobar-les totes,
- que hi ha un nombre molt estrany que no conté cap element i es diu zero,
- que hi ha uns signes nous (+, -, =) per escriure aquestes transformacions de les quantitats.
I que això segueix, i segueix, perquè els nombres són infinits i la capacitat d’aprenentatge també.
Fins aviat,
Mequè
Referències
Dickson, L., Brown, M., Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Labor.
Kamii, C. (1984). El número en la educación preescolar. Visor
Piaget, J., Inhelder, B. (1977). Psicología del niño. Ediciones Morata
Smith, S.S. (2013). Early Childhood Mathematics. Pearson.
