España 
Italia 
United States 
Brasil 
Chile
Ecuador
Mexico
Colombia
Perú
Com podem aconseguir que els nostres alumnes vegin les matemàtiques com alguna cosa més que una llista de regles per memoritzar? Aquesta va ser la pregunta que ens va portar a conversar amb Howie Hua, referent en didàctica de les matemàtiques als Estats Units, formador de professorat a Califòrnia i reconegut divulgador a les xarxes socials.
Juntament amb Albert Vilalta, membre de l’equip didàctic, vam poder conversar amb en Howie en el cicle de formacions per interpretar el California Math Framework. En aquest article us portem les activitats riques i estratègies per a infantil, primària i secundària per desenvolupar el sentit numèric. Som-hi!
Sobre Howie Hua: “Tothom és una persona matemàtica”
Howie Hua és instructor de matemàtiques a la California State University, a Fresno, on forma futurs mestres. El seu lema és clar: “Everyone is a math person” (tothom és una persona matemàtica).
Després de ser nomenat professor destacat el 2019 i rebre el 2024 el Provost Award for Outstanding Lecturer, en Howie ha anat més enllà de l’aula. A les xarxes socials s’ha convertit en un referent que democratitza l’accés a l’educació matemàtica i demostra que les matemàtiques són un llenguatge viu i fascinant per descriure patrons, connectar idees i resoldre problemes de manera creativa.
Activitat d’escalfament: Com comptes el que veus?
Abans d’entrar en les activitats principals, en Howie va proposar un repte per escalfar motors: comptar els quadrats d’una figura amb un forat al centre.
La pregunta clau no era “quants quadrats hi ha?”, sinó “com els has comptat?”. Les respostes van ser diverses:
Alguns van veure quatre rectangles de 3×5 (encavalcats).
Altres van comptar anells concèntrics.
Una participant va proposar moure mentalment les cantonades cap al centre, creant un quadrat perfecte de 5×5 (menys el buit).
Aquesta activitat il·lustra perfectament el concepte de compondre i descompondre números, visualitzar grups i utilitzar propietats per facilitar el càlcul.
Les 5 activitats riques per desenvolupar el sentit numèric
1. Subitizing i «Dot Talks»
El subitizing i els dot talks ajuden els nens i nenes a desenvolupar la capacitat de percebre quantitats sense comptar cada element individualment. Aquesta habilitat comença a desenvolupar-se des dels 3 anys i es consolida progressivament durant l’Educació Infantil i els primers cursos de Primària (fins a 2n).
A través de l’observació de punts, imatges i petites quantitats, els nens aprenen a reconèixer quants elements hi ha d’un sol cop d’ull, a explicar com ho veuen i a construir una comprensió més profunda del número de forma visual, natural i significativa.
Howie Hua ens ho va exemplificar amb activitats en què es mostra una imatge amb elements repetits i agrupats (com els forats d’un embornal) i es donen uns segons per donar una resposta. L’objectiu és buscar estratègies eficients, sense haver de comptar d’un en un els forats.
A partir d’aquí, es llança la pregunta: “Quants en veus? Com ho has vist?”, convidant que expliquem les nostres estratègies i posant en valor diferents maneres de mirar: “Veig 3 columnes de 4 i 2 columnes de 2…” o “Veig un quadrat de 4×4”.
Aquest tipus d’activitats ajuda els alumnes a comprendre que els números poden descompondre’s i representar-se de moltes formes. Cada resposta anticipa el pensament algebraic. Aquestes rutines, basades en preguntes riques i en la conversa a l’aula, afavoreixen el desenvolupament de la flexibilitat, un element essencial de la fluïdesa.
“It is imperative that students implement a standard method only after they have fully developed an understanding of the operation, can connect previous strategies and representations to the steps of the algorithm, and make sense of this abstract process”. California Math Framework, page 15.
2. Gestionar la conversa en l’ús d’estratègies de numeració: La recta numèrica i la «Diferència Constant»
A partir del segon cicle de primària, molts alumnes es bloquegen amb l’algoritme vertical de la resta, sobretot quan apareixen les “portant”.
Per això, és important tenir diferents estratègies per resoldre les operacions bàsiques, ja que ajuda a desenvolupar criteri i flexibilitat.
Una forma molt potent de fer-ho és pensar amb la recta numèrica i conversar sobre les estratègies de salts, fixant-nos que els salts es poden organitzar de diferents maneres sense perdre la relació entre els números…
Per exemple, per resoldre 41-18, en Howie ens va convidar a tenir en compte les diferents propietats i estratègies dels salts:
La primera manera són els friendly jumps —salts amigables!—, els salts que ens són més fàcils de fer, com per exemple saltar de 10 en 10.
La segona estratègia s’anomena friendly checkpoints —punt de control amigable—, ens fixem en quin número ens és més fàcil “aterrar” després del salt. En el cas de l’exemple, el 20 és un bon número per aterrar i saltar a partir d’allà, per tant, fem un salt de 2 per arribar al 20.
La tercera estratègia s’anomena “same distance, same difference” o ‘constant difference’, en la qual veiem i entenem el concepte de diferència. Un bon exemple és usar l’analogia de l’edat: si avui tinc 18 anys i el meu oncle 41, quan jo en tingui 20 la distància d’edat es mantindrà i el meu oncle en tindrà 43.
Treballar aquestes estratègies en dinàmiques de conversa permet comparar procediments, argumentar per què funcionen i reflexionar sobre quin és més eficient en cada cas. Així, l’alumnat no només aprèn a “fer restes”, sinó que construeix comprensió, desenvolupa flexibilitat, tria amb criteri i consolida la resta com una operació amb sentit, més enllà de passos mecànics.
3. On és aquest decimal? Where’s that decimal? Estimació amb decimals
A 6è de Primària i 1r–2n d’ESO, un problema habitual amb els decimals és que molts alumnes col·loquen la coma comptant llocs de forma mecànica, sense comprendre què representa el número ni si el resultat “té sentit”.
Per trencar amb aquesta rutina, en Howie ens va proposar treballar l’estimació abans de calcular:
- Ens va presentar diferents operacions amb decimals i ens va demanar, primer, fer una aproximació raonable per desenvolupar el sentit de l’estimació i el sentit numèric.
- La idea és provocar que l’alumnat pensi en el sentit de les operacions, i usi el càlcul aproximatiu per desenvolupar fluïdesa i criteri.
- Aproximar ens porta a practicar de forma productiva, ja que partirem de fets coneguts per aproximar la resposta. Per exemple, en la primera operació, el nostre fet conegut és que 5×6=30, de manera que podem deduir que la coma l’haurem de posar a partir del 36.
Aquest tipus d’activitats construeix sentit de la magnitud, reforça el sentit numèric i prevé errors conceptuals importants, perquè obliga a validar el resultat des de la lògica matemàtica i no només des d’un procediment.
4. L’estratègia per multiplicar no ha de canviar independentment de què estiguem multiplicant – Estratègia de Descomposició
Quan treballem la multiplicació, des de 3r de Primària i avancem fins a 2n de Secundària, l’estratègia no hauria de canviar segons el tipus de números amb què estiguem treballant, sinó que s’ha de mantenir i l’alumne ha de guanyar fluïdesa a mesura que avancem.
Howie Hua ho va connectar molt bé mostrant que, si l’alumnat entén 13 × 12 mitjançant descomposició i una representació geomètrica d’àrees, aquesta mateixa manera de pensar es pot transferir després a la multiplicació de fraccions o fins i tot de polinomis.
La visualització per àrees permet “veure” el producte com la suma de parts: per exemple, en descompondre en un model d’àrea apareixen regions com x·x = x², 3·x = 3x, 2·x = 2x i 3·2 = 6, de manera que el total es construeix de forma natural com x² + 5x + 6.
Tanmateix, cal tenir en compte una advertència que ens va donar en Howie. Ensenyar “dreceres” o trucs sense comprensió genera confusions massives a llarg termini, i ens desconnecta del sentit de l’operació; en canvi, amb estratègies basades en descomposició i geometria es construeixen connexions profundes entre numeració i àlgebra que sostenen la multiplicació en cursos superiors.
Un últim repte de pràctica productiva
També vam tenir l’oportunitat de presentar-li a en Howie una activitat de la proposta curricular per posar sobre la taula la importància de la pràctica productiva dins d’un context de resolució de problemes.
La nostra idea era contrastar la pràctica “reproductiva” (fer, per exemple, 20 restes mecàniques del tipus 7−2 o 5−1), que sol tornar-se repetitiva i pot generar ansietat, amb una pràctica en la qual s’entrena exactament el mateix però amb propòsit i presa de decisions. L’exemple que vam compartir va ser la Carrera de diferències:
Es llancen dos daus
Es calcula la diferència
Mou el corredor corresponent
Es pregunta: “Quin corredor guanyarà?” El resultat és que l’alumnat resol mentalment un munt de restes, mentre analitza patrons i juguen amb la probabilitat.
Abans d’acabar… 5 Idees clau per portar a la teva aula
Redefineix la fluïdesa
La fluïdesa té tres components:
Eficiència (no perdre’s en passos innecessaris)
Precisió (arribar a la resposta correcta)
Flexibilitat (múltiples eines per a un problema)
La conversa és el motor
Les matemàtiques no han de ser una experiència silenciosa. Preguntar “¿com ho has fet?” és vital.
Estrategias antes que procedimientos
Fomenta la descomposición, la diferencia constante y los números amigables antes de saltar al algoritmo estándar.
L’enfocament CRA
Concret: objectes, fotos
Representatiu: dibuixos, models d’àrea
Abstracte: fórmules, algoritmes
Saltar-se els dos primers passos genera llacunes d’aprenentatge.
Compte amb les dreceres
Procedimentar sense tenir unes bases sòlides ens pot portar a problemes de comprensió en cursos posteriors, com aplicar l’algoritme de la multiplicació creuada de fraccions sense comprendre què estem fent.
Per acabar
Aquesta conversa amb Howie Hua ens va agradar especialment perquè ens va mostrar diferents estratègies i activitats per comprendre i guanyar sentit numèric, en comptes de repetir sense sentit.
Esperem que aquestes activitats us inspirin a portar més conversa, més imatges i més estratègies flexibles a les vostres classes.
